2010-2011学年黑龙江省鸡西一中高三（上）期末数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

sin2010°=（ ）
A．-
B．
C．
D．

2. 难度：中等

已知向量，若t=t₁时，∥；t=t₂时，，则（ ）
A．t₁=-4，t₂=-1
B．t₁=-4，t₂=1
C．t₁=4，t₂=-1
D．t₁=4，t₂=1

3. 难度：中等

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁=11，且S₃=27，则当S_n取得最大值时，n的值是（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8

4. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，下列几种说法正确的是（ ）
A．A₁C₁⊥AD
B．D₁C₁⊥AB
C．AC₁与DC成45°角
D．A₁C₁与B₁C成60°角

5. 难度：中等

若椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，则双曲线-=1的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

下列命题中正确的是（ ）
A．平面α⊥平面r，平面β⊥平面r，则平面α∥平面β
B．直线m∥平面α，直线n∥平面α，则直线m∥直线n
C．平面α∥平面β，直线a⊥平面β，则直线a⊥平面α
D．直线a∥平面α，直线a∥平面β，则平面α∥平面β

7. 难度：中等

下列曲线中，与双曲线-y²=1的离心率和渐近线都相同的是（ ）
A．-=1
B．=1
C．=1
D．-x²=1

8. 难度：中等

当x∈[1，3]时，函数f（x）=2+log₃x的值域是（ ）
A．[0，2]
B．（-∞，2]
C．[3，5]
D．[2，3]

9. 难度：中等

在各项都为正数的等比数列{a_n}中，首项a₁=3，前三项和为21，则a₃+a₄+a₅=（ ）
A．33
B．72
C．84
D．189

10. 难度：中等

函数y=sin²x是（ ）
A．最小正周期为2π的偶函数
B．最小正周期为2π的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数
D．最小正周期为π的奇函数

11. 难度：中等

若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）始终平分圆x²+y²+2x-4y+1=0的周长，则ab的最大值是（ ）
A．4
B．2
C．
D．

12. 难度：中等

给出下列曲线：
①4x+2y-1=0  ②x²+y²=3  ③④
其中与直线y=-2x-3有交点的所有曲线是（ ）
A．①③
B．②④
C．①②③
D．②③④

二、填空题

13. 难度：中等

不等式ax²+bx+1＜0的解集为{x|1＜x＜2}，则a=    ．

14. 难度：中等

直线截圆x²+y²=4得劣弧所对的圆心角为    ．

15. 难度：中等

已知=，=2，=-3，则与的夹角是    ．

16. 难度：中等

将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，有如下四个结论：
①AC⊥BD； 
②△ACD是等边三角形；
③AB与平面BCD成60°的角；   
④AB与CD所成的角为60°；
其中正确结论是    （写出所有正确结论的序号）

三、解答题

17. 难度：中等

①已知tanα=1，，求的值；
②已知，且sin=，求sin（+2θ）的值．

18. 难度：中等

已知等差数列{a_n}中，a₁=1，前10项和S₁₀=100；
（1）求数列{a_n}的通项公式； 
（2）设log₂b_n=a_n，证明{b_n}为等比数列，并求{b_n}的前四项之和．
（3）设c_n=b_n+a_n，求{c_n}的前五项之和．

19. 难度：中等

设函数f（x）=，其中向量=（2cosx，1），=（cosx，-1）（x∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若f（A）=，且a=，b+c=3，（b＞c），求b与c的值．

20. 难度：中等

椭圆=1以F₁（-2，0）和F₂（2，0）为焦点，离心率e=．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过作斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，∠AOB=90°，求弦AB的长；并求△AOB的面积．（其中O为坐标原点）

21. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点．
（1）求证：CD⊥PD；   
（2）求证：EF∥平面PAD；
（3）若直线EF⊥平面PCD，那么=？

22. 难度：中等

已知抛物线C：y=x²，过抛物线C上点M且与M处的切线垂直的直线称为抛物线C在点M的法线．
（1）若抛物线C在点M的法线的斜率为-，求点M的坐标（x，y）；
（2）设P（-2，4）为C对称轴上的一点，在C上一定存在点，使得C在该点的法线通过点P．试求出这些点，以及C在这些点的法线方程．