Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点．
（1）求证：CD⊥PD；   
（2）求证：EF∥平面PAD；
（3）若直线EF⊥平面PCD，那么=？

Answer

（1）证明PA⊥CD，AD⊥CD，证得CD⊥平面PAD，从而有CD⊥PD．
（2）取CD的中点G，由FG是三角形CPD的中位线，可得 FG∥PD，再由举行的性质得 EG∥AD，证明平面EFG∥平面PAD，从而证得EF∥平面PAD．
（3）由条件可得，∠PDA=∠EGF，设PA=x，AD=y，由于tan∠PDA==，tan∠EGF==，得到=，化简得 ，解方程求得的值．
【解析】
（1）证明：∵侧棱PA垂直于底面，∴PA⊥CD．又底面ABCD是矩形，∴AD⊥CD，
这样，CD垂直于平面PAD内的两条相交直线，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD．
（2）取CD的中点G，∵E、F分别是AB、PC的中点，∴FG是三角形CPD的中位线，
∴FG∥PD，FG∥面PAD．∵底面ABCD是矩形，∴EG∥AD，EG∥平面PAD．
故平面EFG∥平面PAD，∴EF∥平面PAD．
（3）∵直线EF⊥平面PCD，∴EF⊥FG．设PA=x，AD=y，则 PD=．
由于∠PDA 和∠EGF的两边分别平行，故∠PDA=∠EGF． EF===，
∵tan∠PDA==，tan∠EGF===，
∴=，∴x4+2x2y2-3y4=0，∴，
∴=-3（舍去），或  =1，∴=1，即 =1．