2009-2010学年福建省三明市永安一中高二（下）第二次联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

i为虚数单位，若，则a的值为（ ）
A．i
B．-i
C．-2i
D．2i

2. 难度：中等

已知随机变量X～B（10，0.6），则E（X）与D（X）分别为（ ）
A．2.44
B．62.4
C．42.4
D．64

3. 难度：中等

将5封信投入3个邮筒，不同的投法有（ ）
A．5³种
B．3⁵种
C．3种
D．15种

4. 难度：中等

已知函数f（x）=e^x+1-3x，则f′（0）=（ ）
A．0
B．-2
C．e
D．e-3

5. 难度：中等

将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A={两个点数都不相同}，B={至少出现一个3点}，则P（B|A）=（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

的值是（ ）
A．e²
B．e²-1
C．^e2-2
D．e²-3

7. 难度：中等

曲线f（x）=x³+x-2在p处的切线平行于直线y=4x-1，则p点的坐标为（ ）
A．（1，0）
B．（2，8）
C．（2，8）和（-1，-4）
D．（1，0）和（-1，-4）

8. 难度：中等

设一随机试验的结果只有A和，且P（A）=m，令随机变量X=，则X的方差DX=（ ）
A．m
B．2m（1-m）
C．m（m-1）
D．m（1-m）

9. 难度：中等

若曲线在R上单调递增，则k的取值范围是（ ）
A．k＞1或k＜-1
B．k≥1
C．k＞1
D．k≥1或k≤-1

10. 难度：中等

以下四个命题：
①由圆的过圆心的弦最长的性质类比出球的过球心的截面面积最大的性质；
②若（3x-1）⁷=a₇x⁷+a₆x⁶+…+a₁x+a，则a₇+a₆+…+a₁=129；
③在含有5件次品的100件产品中，任取3件，则取到两件次品的概率为；
④若离散型随机变量X的方差为D（X）=2，则D（2X-1）=8．
其中正确命题的序号是（ ）
A．①②④
B．①②③④
C．①②
D．①③④

二、填空题

11. 难度：中等

若复数z满足（2+i）z=2，则复数z在复平面上的对应点在第    象限．

12. 难度：中等

在某次数学考试中，考生的成绩X～N（90，100），则考试成绩X位于区间（80，90）上的概率为    ．

13. 难度：中等

2010年上海世博会某国将展出5件艺术作品，其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标志性建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，则该国展出这5件作品不同的方案有    种．（用数字作答）

14. 难度：中等

设直线y=x+b是曲线y=lnx（x＞0）的一条切线，则实数b的值为     ．

15. 难度：中等

一同学在电脑中打出如下若干个圈：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前120个圈中的●的个数是     ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知二项式的展开式中，
（ I）求展开式中含x⁴项的系数；
（ II）如果第3r项和第r+2项的二项式系数相等，试求r的值．

17. 难度：中等

甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率，
（I）记甲击中目标的次数为X，求X的概率分布及数学期望；
（ II）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．

18. 难度：中等

已知命题：平面上一矩形ABCD的对角线AC与边AB、AD所成的角分别为α、β（如图1），则cos²α+cos²β=1．用类比的方法，把它推广到空间长方体中，试写出相应的一个真命题并证明．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax²+bx在与x=1处都取得极值．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在区间[-2，2]的最大值与最小值．

20. 难度：中等

一种计算装置，有一数据入口点A和一个运算出口点B，按照某种运算程序：
①当从A口输入自然数1时，从B口得到，记为；
②当从A口输入自然数n（n≥2）时，在B口得到的结果f（n）是前一个结果f（n-1）的倍；
试问：当从A口分别输入自然数2，3，4 时，从B口分别得到什么数？试猜想f（n）的关系式，并证明你的结论．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=ax-lnx，，它们的定义域都是（0，e]，其中e≈2.718，a∈R
（ I）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（ II）当a=1时，对任意x₁，x₂∈（0，e]，求证：
（ III）令h（x）=f（x）-g（x）•x，问是否存在实数a使得h（x）的最小值是3，如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由．