Question

已知函数f（x）=ax-lnx，，它们的定义域都是（0，e]，其中e≈2.718，a∈R
（ I）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（ II）当a=1时，对任意x₁，x₂∈（0，e]，求证：
（ III）令h（x）=f（x）-g（x）•x，问是否存在实数a使得h（x）的最小值是3，如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由．

Answer

（ I）当a=1时，代入函数f（x）的解析式，求出其导数，利用导数求出它的单调区间，
（ II）当a=1时，对任意x1，x2∈（0，e]，要证明成立，只需要求出函数f（x）的最小值，与函数的最大值，用函数f（x）的最小值减去函数的最大值令它们的差与比较即可，
（ III）求得h（x）的解析式，对其求导，根据实数a的取值范围研究函数的单调性，求出它的最小值，令其为3，解此方程求a的可能取值即可，若能求出，则说明存在，否则说明不存在．
【解析】
（ I） 当a=1时，f（x）=x-lnx，x∈（0，e]
∴
令f'（x）＞0∴1＜x＜e令f'（x）＜0∴0＜x＜1
∴f（x）的单调增区间为（1，e），减区间为（0，1）
（ II）由（ I）知f（x）在（0，e]的最小值为f（1）=1
又g'（x）≥0在区间（0，e]上成立
∴g（x）在（0，e]单调递增，故g（x）在区间（0，e]上有最大值
要证对任意x1，x2∈（0，e]，
即证
即证，即证e＞2.7
故命题成立
（ III）h（x）=f（x）-g（x）•x=ax-2lnx，x∈（0，e]
∴
（1）当a=0时，h'（x）＜0，∴h（x）在（0，e]单调递减，
故h（x）的最小值为h（e）=-2，舍去
（2）当a＞0时，由h'（x）＜0，得
①当时，，
∴h（x）在（0，e]单调递减，故h（x）的最小值为h（e）=ae-2=3，
∴，舍去
②当时，，
∴h（x）在单调递减，在单调递增，
故h（x）的最小值为，，满足要求
（3）当a＜0时，h'（x）＜0在（0，e]上成立，
∴h（x）在（0，e]单调递减，故h（x）的最小值为h（e）=ae-2=3∴，舍去
综合上述，满足要求的实数