Question

一种计算装置，有一数据入口点A和一个运算出口点B，按照某种运算程序：
①当从A口输入自然数1时，从B口得到，记为；
②当从A口输入自然数n（n≥2）时，在B口得到的结果f（n）是前一个结果f（n-1）的倍；
试问：当从A口分别输入自然数2，3，4 时，从B口分别得到什么数？试猜想f（n）的关系式，并证明你的结论．

Answer

由已知可得，该程序的功能是计算并输出满足条件：①a1=②的数列第n项an的值．模拟程序的运行过程，依次计算出数列的各项不难给出答案．
【解析】
由已知得
当n=2时，，
同理可得---------------------（4分）
猜想-------------------（6分）
下面用数学归纳法证明（*）成立
①当n=1，2，3，4时，由上面的计算结果知（*）成立------（8分）
②假设n=k（k≥4，k∈N*）时，（*）成立，即，
那么当n=k+1时，
即∴当n=k+1时，（*）也成立---------------（13分）
综合①②所述，对∀n∈N*，成立．-----（14分）