2010-2011学年江苏省无锡市高三（上）期末数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

设集合A={5，log₂（a+3）}，B={a，b}．若A∩B={1}，则A∪B=    ．

2. 难度：中等

已知复数z=（m²-2）+（m-1）i对应的点位于第二象限，则实数m的范围为    ．

3. 难度：中等

若命题“∃x∈R，使x²+（a-1）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为    ．

4. 难度：中等

某算法的程序框图如图，若输入a=4，b=2，c=6，则输出的结果为    ．

5. 难度：中等

某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台的整点报时，则他等待的时间不多于5分钟的概率为    ．

6. 难度：中等

已知，则=    ．

7. 难度：中等

已知向量，则|2-3|=    ．

8. 难度：中等

设双曲线的渐近线方程为2x±3y=0，则双曲线的离心率为    ．

9. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²-7n，且满足16＜a_k+a_k+1＜22，则正整数k=    ．

10. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M为BB₁的中点，AC、BD交于点O，则D₁O与平面AMC成的角为    度．

11. 难度：中等

y=x³+ax+1的一条切线方程为y=2x+1，则a=    ．

12. 难度：中等

不等式对一切非零实数x，y均成立，则实数a的范围为    ．

13. 难度：中等

已知函数f（x）=x²+2x，若存在实数t，当x∈[1，m]时，f（x+t）≤3x恒成立，则实数m的最大值为    ．

14. 难度：中等

已知函数f（x）=|x²-2|，若f（a）≥f（b），且0≤a≤b，则满足条件的点（a，b）所围成区域的面积为    ．

二、解答题

15. 难度：中等

在边长为6cm的正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，M、N分别为AB、CF的中点，现沿AE、AF、EF折叠，使B、C、D三点重合，构成一个三棱锥．
（1）判别MN与平面AEF的位置关系，并给出证明；
（2）求多面体E-AFMN的体积．

16. 难度：中等

已知△ABC中，，，，．
（1）求；
（2）设∠BAC=θ，且已知，，求sinx．

17. 难度：中等

已知 A、B两地相距2R，以AB为直径作一个半圆，在半圆上取一点C，连接AC、BC，在三角形ABC内种草坪（如图），M、N分别为弧AC、弧BC的中点，在三角形AMC、三角形BNC上种花，其余是空地．设花坛的面积为S₁，草坪的面积为S₂，取∠ABC=θ．
（1）用θ及R表示S₁和S₂；
（2）求的最小值．

18. 难度：中等

已知椭圆 的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM、AN交椭圆于M、N两点．
（1）当直线AM的斜率为1时，求点M的坐标；
（2）当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一定点，若过定点，请给出证明，并求出该定点，若不过定点，请说明理由．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}的首项，．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）记，若S_n＜100，求最大的正整数n．
（3）是否存在互不相等的正整数m，s，n，使m，s，n成等差数列且a_m-1，a_s-1，a_n-1成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由．

20. 难度：中等

对于定义在区间D上的函数f（x）和g（x），如果对于任意x∈D，都有|f（x）-g（x）|≤1成立，那么称函数f（x）在区间D上可被函数g（x）替代．
（1）若，试判断在区间[[1，e]]上f（x）能否被g（x）替代？
（2）记f（x）=x，g（x）=lnx，证明f（x）在上不能被g（x）替代；
（3）设，若f（x）在区间[1，e]上能被g（x）替代，求实数a的范围．

21. 难度：中等

（理科加试题）已知，点M在直线OC上运动，当取最小时，求点M的坐标．

22. 难度：中等

（理科加试题）设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次任取一个，并且取出不再放回，若以ξ表示取出次品的个数．求ξ的分布列，期望及方差．

23. 难度：中等

（理科加试题）若二项式的展开式中的常数项为第五项．
（1）求n的值；
（2）求展开式中系数最大的项．

24. 难度：中等

（理科加试题）若5ⁿ+2×3^n-1+1（n∈N^*）能被正整数m整除，请写出m的最大值，并给予证明．