Question

（理科加试题）若5ⁿ+2×3^n-1+1（n∈N^*）能被正整数m整除，请写出m的最大值，并给予证明．

Answer

先由当n=1时，51+2×3+1=8，得出m≤8，进而利用数学归纳法证5n+2×3n-1+1．（n∈N*）能被8整除．
【解析】
当n=1时，51+2×3+1=8，∴m≤8，（2分）
下证5n+2×3n-1+1．（n∈N*）能被8整除．（3分）
1、当n=1时已证；（4分）
2、假设当n=k（k∈N*）时命题成立，即5k+2×3k-1+1能被8整除．（5分）
则当n=k+1时，5k+1+2×3k+1=5•5k+6•3k-1+（16分）=（5k+2•3k-1+1）+4（5k+3k-1），（7分）
∵5k+2×3k-1+1能被8整除，而5k+3k-1为偶数，
∴4（5k+3k-1）也能被8整除．即当n=k+1时命题也成立．（8分）
由1、2得m的最大值为8（10分）