2013年上海市长宁、嘉定区高考数学二模试卷（理科）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为    ．

2. 难度：中等

若关于x的不等式2x²-3x+a＜0的解集为（m，1），且实数f（1）＜0，则m=    ．

3. 难度：中等

（理）已知集合A={-1，0，a}，B={x|1＜3^x＜3}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是    ．

4. 难度：中等

已知复数z满足（i为参数单位），则复数z的实部与虚部之和为    ．

5. 难度：中等

求值：=    ．

6. 难度：中等

已知向量不超过5，则k的取值范围是     ．

7. 难度：中等

设a＞0，a≠1，行列式中第3行第2列的代数余子式记作y，函数y=f（x）的反函数图象经过点（2，1），则a=    ．

8. 难度：中等

（理）如图是一个算法框图，则输出的k的值是    ．

9. 难度：中等

已知，且，则sinα=    ．

10. 难度：中等

（理）设函数，则将y=f（x）的曲线绕x轴旋转一周所得几何体的体积为    ．

11. 难度：中等

（理）抛掷一枚质地均匀的骰子，记向上的点数是偶数的事件为A，向上的点数大于2且小于或等于5的事件为B，则事件A∪B的概率P（A∪B）=    ．

12. 难度：中等

设定义域为R的函数，若关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有3个不同的整数解x₁，x₂，x₃，则x₁²+x₂²+x₃²等于    ．

13. 难度：中等

设函数f（x）=的最大值为M，最小值为m，则M+m=    ．

14. 难度：中等

设S_n为数列{a_n}的前n项之和．若不等式对任何等差数列{a_n}及任何正整数n恒成立，则λ的最大值为    ．

二、选择题

15. 难度：中等

已知A（a₁，b₁），B（a₂，b₂）是坐标平面上不与原点重合的两个点，则的充要条件是（ ）
A．
B．a₁a₂+b₁b₂=0
C．
D．a₁b₂=a₂b₁

16. 难度：中等

关于直线l，m及平面α，β，下列命题中正确的是（ ）
A．若l∥α，α∩β=m，则l∥m
B．若l∥α，m∥α，则l∥m
C．若l⊥α，l∥β，则α⊥β
D．若l∥α，m⊥l，则m⊥α

17. 难度：中等

过点P（1，1）作直线与双曲线交于A、B两点，使点P为AB中点，则这样的直线（ ）
A．存在一条，且方程为2x-y-1=0
B．存在无数条
C．存在两条，方程为2x±（y+1）=0
D．不存在

18. 难度：中等

已知a＞0且a≠1，函数在区间（-∞，+∞）上既是奇函数又是增函数，则函数g（x）=log_a|x|-b|的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

三、解答题

19. 难度：中等

（理）如图：已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AD与平面BCD所成的角为30°，且AB=BC=2．
（1）求AD与平面ABC所成角的大小；
（2）求点B到平面ACD的距离．

20. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C所对应的边a，b，c成等比数列．
（1）求证：；
（2）求的取值范围．

21. 难度：中等

设函数f（x）=a^x-（k-1）a^-x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．
（1）求k的值；
（2）（理）若，且g（x）=a^2x+a^-2x-2m•f（x）在[1，+∞）上的最小值为-2，求m的值．
（文）若f（1）＜0，试说明函数f（x）的单调性，并求使不等式f（x²+tx）+f（4-x）＜0恒成立的取值范围．

22. 难度：中等

如图，已知点F（0，1），直线m：y=-1，P为平面上的动点，过点P作m的垂线，垂足为点Q，且．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）（理）过轨迹C的准线与y轴的交点M作直线m′与轨迹C交于不同两点A、B，且线段AB的垂直平分线与y轴的交点为D（0，y），求y的取值范围；
（3）（理）对于（2）中的点A、B，在y轴上是否存在一点D，使得△ABD为等边三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

23. 难度：中等

（理）已知三个互不相等的正数a，b，c成等比数列，公比为q．在a，b之间和b，c之间共插入n个数，使这n+3个数构成等差数列．
（1）若a=1，在b，c之间插入一个数，求q的值；
（2）设a＜b＜c，n=4，问在a，b之间和b，c之间各插入几个数，请说明理由；
（3）若插入的n个数中，有s个位于a，b之间，t个位于b，c之间，试比较s与t的大小．