Question

设函数f（x）=a^x-（k-1）a^-x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．
（1）求k的值；
（2）（理）若，且g（x）=a^2x+a^-2x-2m•f（x）在[1，+∞）上的最小值为-2，求m的值．
（文）若f（1）＜0，试说明函数f（x）的单调性，并求使不等式f（x²+tx）+f（4-x）＜0恒成立的取值范围．

Answer

（1）根据奇函数的定义：对任意x∈R，f（-x）=-f（x），或性质可得f（0）=0，由此求得k值．
（2）（理）利用换元法，将函数转化为二次函数，研究函数的单调性，得到函数g（x）取得最小值．利用条件，就可以求m的值．
（文）由f（x）=ax-a-x（a＞0且a≠1），f（1）＜0，求得0＜a＜1，f（x）在R上单调递减，不等式化为f（x2+tx）＜f（x-4），即x2+（t-1）x+4＞0 恒成立，由△＜0求得t的取值范围．
【解析】
（1）由题意，对任意x∈R，f（-x）=-f（x），
即a-x-（k-1）ax=-ax+（k-1）a-x，
即（k-1）（ax+a-x）-（ax+a-x）=0，（k-2）（ax+a-x）=0，
因为x为任意实数，所以k=2． 
解法二：因为f（x）是定义域为R的奇函数，所以f（0）=0，即1-（k-1）=0，k=2．
当k=2时，f（x）=ax-a-x，f（-x）=a-x-ax=-f（x），f（x）是奇函数．
所以k的值为2．
（2）（理）由（1）f（x）=ax-a-x，因为，所以，
解得a=2．
故f（x）=2x-2-x，g（x）=22x+2-2x-2m（2x-2-x），
令t=2x-2-x，则22x+2-2x=t2+2，由x∈[1，+∞），得，
所以g（x）=h（t）=t2-2mt+2=（t-m）2+2-m2，
当时，h（t）在上是增函数，则，，
解得（舍去）．
当时，则f（m）=-2，2-m2=-2，解得m=2，或m=-2（舍去）．
综上，m的值是2．
（2）（文）由（1）知f（x）=ax-a-x，由f（1）＜0，得，解得0＜a＜1．
当0＜a＜1时，y=ax是减函数，y=-a-x也是减函数，所以f（x）=ax-a-x是减函数．
由f（x2+tx）+f（4-x）＜0，所以f（x2+tx）＜-f（4-x），
因为f（x）是奇函数，所以f（x2+tx）＜f（x-4）．
因为f（x）是R上的减函数，所以x2+tx＞x-4即x2+（t-1）x+4＞0对任意x∈R成立，
所以△=（t-1）2-16＜0，
解得-3＜t＜5．
所以，t的取值范围是（-3，5）．