2013年广东省高考数学模拟试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x|x²-x-2＜0}，集合B={x|x≥0}，则A∩B=（ ）
A．（-1，2）
B．[0，2）
C．（0，2）
D．[-1，2]

2. 难度：中等

复数的虚部为（ ）
A．i
B．-i
C．1
D．-1

3. 难度：中等

已知命题p：函数f（x）在x=x处有极值，命题q：可导函数f（x）在x=x处导数为0，则p是q的（ ）条件．
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充分必要
D．既不充分也不必要

4. 难度：中等

已知正数m是2，8的等比中项，则圆锥曲线的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

设a，b是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若a∥α，b∥β且α∥β，则a∥b
B．若a∥α，a∥β且b∥a，则b∥α
C．若a⊥α，b⊥β且α∥β，则a∥b
D．若a⊥α，a⊥β且b∥α，则b∥β

6. 难度：中等

一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．2
B．1
C．
D．

7. 难度：中等

设曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在点（1，l）处的切线与x轴的交点的横坐标为x_n，则log₂₀₁₃x₁+log₂₀₁₃x₂+log₂₀₁₃ x₃+…+log₂₀₁₃ x₂₀₁₁+log₂₀₁₃x₂₀₁₂的值为（ ）
A．-log₂₀₁₃2012
B．-1
C．（log₂₀₁₃2012）-l
D．1

8. 难度：中等

已知平面区域A：恰好被面积最小的圆C：（x-a）²+（y-b）²=r²及其内部所覆盖，现向此圆内部投一粒子，则粒子恰好落在平面区域A内的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

若n-m表示[m，n]（m＜n）的区间长度，函数的值域区间长度为，则实数a的值为（ ）
A．4
B．2
C．
D．1

10. 难度：中等

在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，P为EF上的任一点，实数x，y满足，设△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为S，S₁，S₂，S₃，记，则λ₂•λ₃取到最大值时，2x+y的值为（ ）
A．-1
B．1
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

，如图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内填入的条件是    ．

12. 难度：中等

函数在其定义域内零点的个数为    个．

13. 难度：中等

把正数排列成如图甲的三角形数阵，然后擦去偶数行中的奇数和奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，现把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{a_n}，若a_n=2013，则n=    ．

14. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，E为AB上一点，以BE为直径作圆O刚好与AC相切于点D，若，则圆O的半径长为    ．

15. 难度：中等

（极坐标与参数方程选做题）
曲线与直线y=x+2的交点坐标为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

设函数．
（Ⅰ）求f（x）的最值；
（Ⅱ）当时，若f（θ）=1，求θ的值．

17. 难度：中等

美国男子篮球职业联赛（NBA）是美国四大职业联赛之一，吸引了全世界无数的球迷．下表列出了NBA巨星科比在本赛季前六场比赛的技术统计指标，每场比赛包括“得分”，“篮板”，“助攻”，“抢断”以及“盖帽”五项．
（Ⅰ）写出科比在这六场比赛中得分的众数和中位数，并计算其平均得分；
（Ⅱ）若在“得分”，“篮板”，“助攻”，“抢断”和“盖帽”这五项技术统计中有任意三项均达到或超过10，则称这个运动员在比赛中拿到“三双”，按表中所出现“三双”的频率计算，在本赛季一共66场常规赛中，科比大概能拿到多少次“三双”？

场次	得分	篮板	助攻	抢断	盖帽
1	28	7	6	2	2
2	29	5	7	2	2
3	28	10	5	1	1
4	28	4	6	1	1
5	37	11	10	3	3
6	30	8	8	1	4

（Ⅲ）若从这六场比赛中任意抽取两场比赛作进一步的技术统计分析，则抽到得分不低于29分且盖帽数不低于2次的概率为多少？

18. 难度：中等

如图：四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，且∠DAB=90°，E为SD的中点，SA⊥平面ABCD，且AB=1，SA=AD=CD=2．延长DA，与CB的延长线交于点M．
（Ⅰ）求四棱锥S-ABCD的体积；
（Ⅱ）求证：AE∥平面SBC；
（Ⅲ）求证：平面SMC⊥平面SCD．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}满足．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}的前n项和为，试求数列的前n项和T_n；
（Ⅲ）记数列的前n项积为，试证明：．

20. 难度：中等

设圆C₁：x²+y²-10x-6y+32=0，动圆C₂：x²+y²-2ax-2（8-a）y+4a+12=0，
（Ⅰ）求证：圆C₁、圆C₂相交于两个定点；
（Ⅱ）设点P是椭圆上的点，过点P作圆C₁的一条切线，切点为T₁，过点P作圆C₂的一条切线，切点为T₂，问：是否存在点P，使无穷多个圆C₂，满足PT₁=PT₂？如果存在，求出所有这样的点P；如果不存在，说明理由．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=a^x+x²-xlna（a＞1）．
（Ⅰ）试讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若函数y=|f（x）-t|-1有三个零点，试求t的值；
（Ⅲ）若存在x₁，x₂∈[-1，1]，使得|f（x₁）-f（x₂）|≥e-1，试求a的取值范围．