Question

在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，P为EF上的任一点，实数x，y满足，设△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为S，S₁，S₂，S₃，记，则λ₂•λ₃取到最大值时，2x+y的值为（ ）
A．-1
B．1
C．
D．

Answer

根据三角形中位线的性质，可得P到BC的距离等于△ABC的BC边上高的一半，从而得到S1=S=S2+S3．由此结合基本不等式求最值，得到当λ2•λ3取最大值时点P在EF的中点．再由向量的加法的四边形法则，算出，结合已知条件的等式，可求出x、y的值，从而算出2x+y的值．
【解析】
由题意，可得
∵EF是△ABC的中位线，
∴P到BC的距离等于△ABC的BC边上高的一半，可得S1=S=S2+S3
由此可得λ2•λ3=≤=
当且仅当S2=S3时，即P为EF的中点时，等号成立．
∴+=
由向量的加法的四边形法则可得，，
∴两式相加，得
∵由已知得
∴根据平面向量基本定理，得x=y=，从而得到2x+y=
综上所述，可得当λ2•λ3取到最大值时，2x+y的值为
故选：D