Question

已知函数f（x）=a^x+x²-xlna（a＞1）．
（Ⅰ）试讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若函数y=|f（x）-t|-1有三个零点，试求t的值；
（Ⅲ）若存在x₁，x₂∈[-1，1]，使得|f（x₁）-f（x₂）|≥e-1，试求a的取值范围．

Answer

（I）利用导数的运算法则dcf′（x）=2x+（ax-1）lna，由于a＞1，而ax在R上单调递增，只要分x＞0和x＜0讨论即可；
（II）当a＞1时，由（Ⅰ）可知：f（x）在x=0处取得最小值，又函数y=|f（x）-t|-1有三个零点⇔方程f（x）=t±1有三个根，而t+1＞t-1，必须t-1=（f（x））min=f（0）=1，解出即可．
（III）因为存在x1，x2∈[-1，1]，使得|f（x1）-f（x2）|≥e-1．可知当x∈[-1，1]时，得|（f（x））max-（f（x））min|=（f（x））max-（f（x））min≥e-1．
又由（Ⅰ）知：f（x）在[-1，0]上单调递减，在[0，1]上单调递增，故当x∈[-1，1]时，（f（x））min=f（0）=1，（f（x））max=max{f（-1），f（1）}，再作差利用导数比较f（1）与f（-1）大小即可．
【解析】
（Ⅰ）f'（x）=axlna+2x-lna=2x+（ax-1）lna．
∵f'（0）=0，且a＞1．
当x＞0时，lna＞0，ax-1＞0⇒f'（x）＞0，
故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当x＜0时，lna＞0，ax-1＜0⇒f'（x）＜0．
故函数f（x）在（0，+∞）上单调递减．
（Ⅱ）当a＞1时，由（Ⅰ）可知：f（x）在x=0处取得最小值，又函数y=|f（x）-t|-1有三个零点，所以方程f（x）=t±1有三个根，
而t+1＞t-1，所以t-1=（f（x））min=f（0）=1，由此可解得：t=2．
（Ⅲ）因为存在x1，x2∈[-1，1]，使得|f（x1）-f（x2）|≥e-1，
因此当x∈[-1，1]时，有：|（f（x））max-（f（x））min|=（f（x））max-（f（x））min≥e-1．
又由（Ⅰ）知：f（x）在[-1，0]上单调递减，在[0，1]上单调递增，
故当x∈[-1，1]时，（f（x））min=f（0）=1，（f（x））max=max{f（-1），f（1）}，
而．
记，因为（当t=1时取等号）
因此在t∈[1，+∞）上单调递增，而g（1）=0，故当t＞1时，g（t）＞0；即当a＞1时，f（1）＞f（-1）
由f（1）-f（0）≥e-1⇒a-lna≥e-1⇒a≥e，综上所述，所求a的取值范围为[e，+∞）．