2012年江西省高考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若集合A={-1，1}，B={0，2}，则集合{z|z=x+y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2

2. 难度：中等

下列函数中，与函数y=定义域相同的函数为（ ）
A．y=
B．y=
C．y=xe^x
D．y=

3. 难度：中等

若函数f（x）=，则f（f（10））=（ ）
A．lg101
B．2
C．1
D．0

4. 难度：中等

若tanθ+=4，则sin2θ=（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

下列命题中，假命题为（ ）
A．存在四边相等的四边形不是正方形
B．z₁，z₂∈C，z₁+z₂为实数的充分必要条件是z₁，z₂互为共轭复数
C．若x，y∈R，且x+y＞2，则x，y至少有一个大于1
D．对于任意n∈N^*，++…+都是偶数

6. 难度：中等

观察下列各式：a+b=1，a²+b²=3，a³+b³=4，a⁴+b⁴=7，a⁵+b⁵=11，…，则a¹⁰+b¹⁰=（ ）
A．28
B．76
C．123
D．199

7. 难度：中等

在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则=（ ）
A．2
B．4
C．5
D．10

8. 难度：中等

某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表

	年产量/亩	年种植成本/亩	每吨售价
黄瓜	4吨	1.2万元	0.55万元
韭菜	6吨	0.9万元	0.3万元

为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入-总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（ ）
A．50，0
B．30，20
C．20，30
D．0，50

9. 难度：中等

样本（x₁，x₂…，x_n）的平均数为x，样本（y₁，y₂，…，y_m）的平均数为（≠）．若样本（x₁，x₂…，x_n，y₁，y₂，…，y_m）的平均数=α+（1-α），其中0＜α＜，则n，m的大小关系为（ ）
A．n＜m
B．n＞m
C．n=m
D．不能确定

10. 难度：中等

如图，已知正四棱锥S-ABCD所有棱长都为1，点E是侧棱SC上一动点，过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成上、下两部分．记SE=x（0＜x＜1），截面下面部分的体积为V（x），则函数y=V（x）的图象大致为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、解答题

11. 难度：中等

计算定积分=    ．

12. 难度：中等

设数列{a_n}，{b_n}都是等差数列，若a₁+b₁=7，a₃+b₃=21，则a₅+b₅=    ．

13. 难度：中等

椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F₁，F₂．若|AF₁|，|F₁F₂|，|F₁B|成等比数列，则此椭圆的离心率为    ．

14. 难度：中等

下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是    ．

15. 难度：中等

（1）（坐标系与参数方程选做题）曲线C的直角坐标方程为x²+y²-2x=0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立积坐标系，则曲线C的极坐标方程为    ．
（2）（不等式选做题）在实数范围内，不等式|2x-1|+|2x+1|≤6的解集为    ．

16. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和S_n=-n²+kn（其中k∈N₊），且S_n的最大值为8．
（1）确定常数k，求a_n；
（2）求数列的前n项和T_n．

17. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知A=，bsin（+C）-csin（+B）=a，
（1）求证：B-C=
（2）若a=，求△ABC的面积．

18. 难度：中等

如图，从A₁（1，0，0），A₂（2，0，0），B₁（0，2，0），B₂（0，2，0），C₁（0，0，1），C₂（0，0，2）这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V（如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V=0）．
（1）求V=0的概率；
（2）求V的分布列及数学期望EV．

19. 难度：中等

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=AC=AA₁=，BC=4，在A₁在底面ABC的投影是线段BC的中点O．
（1）证明在侧棱AA₁上存在一点E，使得OE⊥平面BB₁C₁C，并求出AE的长；
（2）求平面A₁B₁C与平面BB₁C₁C夹角的余弦值．

20. 难度：中等

已知三点O（0，0），A（-2，1），B（2，1），曲线C上任意一点M（x，y）满足|+|=•（+）+2．
（1）求曲线C的方程；
（2）动点Q（x，y）（-2＜x＜2）在曲线C上，曲线C在点Q处的切线为l向：是否存在定点P（0，t）（t＜0），使得l与PA，PB都不相交，交点分别为D，E，且△QAB与△PDE的面积之比是常数？若存在，求t的值．若不存在，说明理由．

21. 难度：中等

若函数h（x）满足
①h（0）=1，h（1）=0；
②对任意a∈[0，1]，有h（h（a））=a；
③在（0，1）上单调递减．则称h（x）为补函数．已知函数h（x）=（λ＞-1，p＞0）
（1）判函数h（x）是否为补函数，并证明你的结论；
（2）若存在m∈[0，1]，使得h（m）=m，若m是函数h（x）的中介元，记p=（n∈N₊）时h（x）的中介元为x_n，且S_n=，若对任意的n∈N₊，都有S_n＜，求λ的取值范围；
（3）当λ=0，x∈（0，1）时，函数y=h（x）的图象总在直线y=1-x的上方，求P的取值范围．