2008-2009学年湖北省黄冈、宜昌、襄樊、孝感、荆州五市高三（下）4月联考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合A={1，3，4，5}，B={2，3，4}，C={1，2}，则集合（A∩B）∪C等于（ ）
A．{2}
B．{1，2}
C．{1，2，3，4}
D．{1，2，3，4，5}

2. 难度：中等

已知，则p是q的（ ）
A．充分条件但不是必要条件
B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

3. 难度：中等

将圆x²+y²=1按向量平移后，恰好与直线x-y+b=0相切，则实数b的值为（ ）
A．
B．-
C．
D．-

4. 难度：中等

从8名女生，4名男生中选出6名组成课外小组，若按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法种数是（ ）
A．C₈³C₄³
B．C₈⁴C₄²
C．C₁₂⁶
D．A₈⁴A₄²

5. 难度：中等

若sin（）=，则cos（）（ ）
A．-
B．-
C．
D．

6. 难度：中等

设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A．若a，b与α所成的角相等，则α∥b
B．若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b
C．若a⊂α，b⊂β，α∥b，则α∥β
D．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，是a⊥b

7. 难度：中等

现随机安排一批志愿者到三个社区服务，则其中来自同一个单位的3名志愿者恰好被安排在两个不同的社区服务的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知A为xoy平面内的一个区域．甲：点（a，b）∈；乙：点（a，b）∈A．如果甲是乙的必要条件，那么区域A的面积（ ）
A．最小值为2
B．无最大值
C．最大值为2
D．最大值为1

9. 难度：中等

设A、B两地位于北纬α的纬线上，且两地的经度差为90°，若地球的半径为R千米，且时速为20千米的轮船从A地到B地最少需要小时，则α为（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上．设抛物线y²=2px（p＞0），弦AB过焦点，△ABQ为其阿基米德三角形，则△ABQ的面积的最小值为（ ）
A．
B．p²
C．2p²
D．4p²

二、解答题

11. 难度：中等

（x²-）ⁿ的展开式中，常数项为240，则n=    ．

12. 难度：中等

已知{a_n}为等比数列，a₃和a₇是方程x²-68x+256=0的两根，若a₄=8，则a₆=    ．

13. 难度：中等

函数的反函数为f^-1（x），则f^-1（18）=    ．

14. 难度：中等

向量、、满足++=0，⊥，（-）⊥，M=++，则M=    ．

15. 难度：中等

已知函数y=f（x）是R上的偶函数，对于x∈R都有f（x-6）=f（x）+f（3）成立，且f（0）=-2，当x₁，x₂∈[0，3]，且x₁≠x₂时，都有＞0．则给出下列命题：
①f（2010）=-2；
②函数y=f（x）图象的一条对称轴为x=-6；
③函数y=f（x）在[-9，-6]上为增函数；
④方程f（x）=0在[-9，9]上有4个根．
其中正确命题的序号是    ．（请将你认为是真命题的序号都填上）

16. 难度：中等

在△ABC中，A（-cosx，cos2x），，C（λ，1），0≤x≤π，若△ABC的重心在y轴的负半轴上．
（1）求x的取值范围；（2）求λ的取值范围．

17. 难度：中等

某校从参加计算机水平测试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段[40，50），[50，60），…，[90，100）后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
（Ⅰ）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；
（Ⅱ）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和利用各组中值估计这次考试平均分（组中值即某组数据区间的中点值，如[60，80）的组中值为70）；
（Ⅲ）从成绩是80分以上（包括80分）的学生中任选两人，求他们在同一分数段的概率．

18. 难度：中等

如图甲，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=点M、N分别在AB，CD上，且MN⊥AB，MC⊥CB，BC=2，MB=4，现将梯形ABCD沿MN折起，使平面AMND与平面MNCB垂直（如图乙）．
（Ⅰ）求证：AB∥平面DNC；
（Ⅱ）当DN=时，求二面角D-BC-N的大小．

19. 难度：中等

已知定义在R上的函数f（x）=2tx³-3x²，其中t为常数．
（1）当t=时，求函数f（x）的极值；
（2）求函数f（x）的单调递增区间．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}满足．
（1）求证：数列是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）设，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：对任意的n∈N*，有成立．

21. 难度：中等

设圆Q过点P（0，2），且在x轴上截得的弦RG的长为4．
（1）求圆心Q的轨迹E的方程；
（2）过点F（0，1），作轨迹E的两条互相垂直的弦AB，CD，设AB、CD的中点分别为M，N，试判断直线MN是否过定点？并说明理由．