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高中数学试题
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已知函数y=f(x)是R上的偶函数,对于x∈R都有f(x-6)=f(x)+f(3...
已知函数y=f(x)是R上的偶函数,对于x∈R都有f(x-6)=f(x)+f(3)成立,且f(0)=-2,当x
1
,x
2
∈[0,3],且x
1
≠x
2
时,都有
>0.则给出下列命题:
①f(2010)=-2;
②函数y=f(x)图象的一条对称轴为x=-6;
③函数y=f(x)在[-9,-6]上为增函数;
④方程f(x)=0在[-9,9]上有4个根.
其中正确命题的序号是
.(请将你认为是真命题的序号都填上)
①对于条件:“x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立”,令x=-3,再结合函数为偶函数可得f(-3)=f(3)=0,代入已知条件可得函数的周期为6,从而得到f(2010)=-2; ②欲证“直线x=-6是函数y=f(x)的图象的一条对称轴”,即证f(-6+x)=f(-6-x); ③当x1,x2∈[0,3]且x1≠x2时,都有 ,说明函数在区间上是增函数,再用周期性的奇偶性可得结论不正确; ④由①的结论可知在区间[-9,9]上f(-9)=f(-3)=f(3)=f(9)=0,再结合单调函数根的分布可得结论正确. 【解析】 对于①,先令x=3,即有f(-3)=f(3)+f(3), 再依据函数y=f(x)是R上的偶函数,有f(-3)=f(3),得f(3)=0, 这样f(x-6)=f(x)+f(3)=f(x)函数f(x)的周期就是6, 因此f(2010)=f(335×6)=f(0)=-2; 对于②,∵f(x-6)=f(x)+f(3), 又∵f(-x-6)=f(-x)+f(3),且f(-x)=f(x) ∴f(-6+x)=f(-6-x) ∴直线x=-6是函数y=f(x)的图象的一条对称轴,故②对; 对于③,首先根据:当x1,x2∈[0,3]且x1≠x2时,都有 , 说明函数在区间[0,3]上是增函数,再结合函数的周期为6, 将区间[0,3]右移6个单位,可得函数在[6,9]上为增函数 又∵函数为偶函数,在关于原点对称的区间上单调性相反 ∴函数y=f(x)在[-9,-6]上为减函数,可得③不正确; 对于④,根据①的结论,f(-3)=f(3)=0,再结合函数周期为6 得f(-9)=f(-3)=f(3)=f(9)=0, 再根据在某个区间上的单调函数在这个区间内至多有一个零点, 得函数f(x)在[-9,9]上只有以上4个零点,所以④正确. 故答案为①②④.
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考点分析:
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