2011-2012学年安徽省黄山市高三第二次质量检测数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集为实数R，集合A={x|x²-1≤0}，B={x|x＜1}，则A∩（∁_RB）=（ ）
A．{x|-1≤x≤1}
B．{x|-1≤x＜1}
C．ϕ
D．{x|x=1}

2. 难度：中等

已知复数z=1+i，则=（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

某学生四次模拟考试时，其英语作文的减分情况如下表：

考试次数x	1	2	3	4
所减分数y	4.5	4	3	2.5

显然所减分数y与模拟考试次数x之间有较好的线性相关关系，则其线性回归方程为（ ）
A．y=0.7x+5.25
B．y=-0.6x+5.25
C．y=-0.7x+6.25
D．y=-0.7x+5.25

4. 难度：中等

某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（ ）
A．f（x）=x²
B．
C．f（x）=x²
D．f（x）=sin

5. 难度：中等

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且9a₁，3a₂，a₃成等比数列．若a₁=3，则S₄=（ ）
A．7
B．8
C．12
D．16

6. 难度：中等

设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题
①若a⊥b，a⊥α，则b∥α
②若a∥α，α⊥β，则a⊥β
③a⊥β，α⊥β，则a∥α
④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β
其中正确的命题的个数是（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

7. 难度：中等

下列说法正确的是（ ）
A．命题“若x²=1，则x=1”的否命题为“若x²=1，则x≠1”
B．命题“∃x∈R，使得x²+x+1＜0”的否定是“∀x∈R，均有x²+x+1＜0”
C．在△ABC中，“A＞B”是“cos²A＜cos²B”的充要条件
D．的展开式中第三项的系数是-

8. 难度：中等

直线l的方向向量为且过抛物线x²=4y的焦点，则直线l与抛物线围成的封闭图形面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

将函数的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的一个单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知函数f（x）的定义域为[-3，+∞），f（6）=1，其导函数的图象如图所示，若正数a，b满足f（2a+b）＜1，则 的取值范围是（ ）

A．
B．（1，4）
C．
D．

二、解答题

11. 难度：中等

与椭圆有相同的焦点且过点P（2，1）的双曲线方程是    ．

12. 难度：中等

从一个正方体中截去部分几何体，得到一个以原正方体  的部分顶点为顶点的凸多面体，其三视图如图，则该几何体体积为    ．

13. 难度：中等

用两点等分单位圆时，有相应正确关系为sinα+sin（π+α）=0；三点等分单位圆时，有相应正确关系为，由此可以推知：四点等分单位圆时的相应正确关系为    ．

14. 难度：中等

设直线l₁的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系得另一直线l₂的方程为ρsinθ-3ρcosθ+4=0，若直线l₁与l₂间的距离为，则实数a的值为     ．

15. 难度：中等

函数f（x）的导函数为f′（x），若对于定义域内任意x₁、x₂（x₁≠x₂），有恒成立，则称f（x）为恒均变函数．给出下列函数：
①f（x）=2x+3；
②f（x）=x²-2x+3；
③f（x）=；
④f（x）=e^x；
⑤f（x）=lnx．
其中为恒均变函数的序号是    ．（写出所有满足条件的函数的序号）

16. 难度：中等

已知向量）与=（sin+cos，y）共线，且有函数y=f（x）．
（Ⅰ）若f（x）=1，求的值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C，的对边分别是a，b，c，且满足2acosC+c=2b，求函数f（B）的取值范围．

17. 难度：中等

如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=3，DE=4．
（Ⅰ）若F为DE的中点，求证：BE∥平面ACF；
（Ⅱ）求直线BE与平面ABCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）如果四棱锥E-ABCD有外接球，求出四棱锥E-ABCD外接球的半径，没有的话请说明理由．

18. 难度：中等

已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=3，．
（Ⅰ）证明数列{a_n+1-a_n}是等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}的前n项和为S_n，且对一切n∈N^*，都有成立，求S_n．

19. 难度：中等

已知椭圆（a＞b＞0）的离心率，A、B分别为椭圆长轴右端点与短轴上端点，坐标原点O到直线AB的距离为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过P（0，2）作斜率为k的直线交椭圆于不同的两点M、N，设，记，求证：（6f（λ）-32）k²=-3f（λ）；
（Ⅲ）求k与λ的范围．

20. 难度：中等

黄山风景区某旅游超市销售不同价格的两种纪念品，一种单价10元，另一种单价15元，
超市计划将这两种纪念品共4件（两件10元，两件15元）在超市入口和出口处展出销售，假设光顾该超市的一位游客随机的从这两处选购纪念品，且选购单价10元和15元的纪念品是等可能的．
（Ⅰ）若每处各展出一件10元的纪念品和一件15元的纪念品，则该游客只选购了一件纪念品且单价为15 元的概率是多少？
（Ⅱ）若每处至少展出一件纪念品，记该游客只选购了一件纪念品且单价为15元的概率为P，怎样分配展出能使P的值最大？并求出P的最大值；
（Ⅲ）若每处随机的各展出两件纪念品，该游客从这两处各选购了一件纪念品，记该游客选购纪念品的消费总金额为X元，求随机变量X的分布列，并求出X的数学期望．

21. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）分别求函数f（x）和g（x）的图象在x=0处的切线方程；
（Ⅱ）证明不等式；
（Ⅲ）对一个实数集合M，若存在实数s，使得M中任何数都不超过s，则称s是M的一个上界．已知e是无穷数列所有项组成的集合的上界（其中e是自然对数的底数），求实数a的最大值．