Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=3，．
（Ⅰ）证明数列{a_n+1-a_n}是等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}的前n项和为S_n，且对一切n∈N^*，都有成立，求S_n．

Answer

（I ）由an+1=4an-3an-1可得an+1-an=3（an-an-1），故而=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1，结合等比数列的求和公式可求an
（II）由 可求，利用错位相减可求和sn
（I）证明：由an+1=4an-3an-1可得an+1-an=3（an-an-1）
所以数列{an+1-an}是以2为首项，3为公比的等比数列 …（3分）
故有an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1=…（6分）
（II）【解析】
由 可知
当n=1时，，b1=3，S1=3
当n≥2时，，…（8分）
=2（1×3+2×31+3×32+…n×3n-1）+1
设x=1×3+2×31+3×32+…+n×3n-1
3x=1×31+2×32+…+（n-1）×3n-1+n×3n
∴2x=n×3n-（3n-1+3n-2+…3）=…（11分）
综上…（12分）