Question

已知函数．
（Ⅰ）分别求函数f（x）和g（x）的图象在x=0处的切线方程；
（Ⅱ）证明不等式；
（Ⅲ）对一个实数集合M，若存在实数s，使得M中任何数都不超过s，则称s是M的一个上界．已知e是无穷数列所有项组成的集合的上界（其中e是自然对数的底数），求实数a的最大值．

Answer

（Ⅰ），则f'（0）=0，g'（0）=0，且f（0）=0，g（0）=0，由此能求出函数f（x）和g（x）的图象在x=0处的切线方程．
（Ⅱ）令函数，定义域是（-1，+∞），，设u（x）=2（1+x）ln（1+x）-x2-2x，则u'（x）=2ln（1+x）-2x，令v（x）=2ln（1+x）-2x，则，由此能够证明．（Ⅲ）由题意可知不等式 对任意的n∈N*都成立，且不等式等价于不等式，由此能求出a的最大值．
【解析】
（Ⅰ），
则f'（0）=0，g'（0）=0，且f（0）=0，g（0）=0，
所以函数f（x）和g（x）的图象在x=0处的切线方程都是y=0…（3分）
（Ⅱ）令函数，定义域是（-1，+∞），，
设u（x）=2（1+x）ln（1+x）-x2-2x，
则u'（x）=2ln（1+x）-2x，
令v（x）=2ln（1+x）-2x，则，
当-1＜x＜0时，v'（x）＞0，v（x）在（-1，0）上为增函数，
当x＞0时，v'（x）＜0，v（x）在（0，+∞）上为减函数．
所以v（x）在x=0处取得极大值，且就是最大值，而v（0）=0，
所以u'（x）≤0，函数u（x）在（-1，+∞）上为减函数…（5分）
于是当-1＜x＜0时，u（x）＞u（0）=0，当x＞0时，u（x）＜u（0）=0，
所以，当-1＜x＜0时，h'（x）＞0，h（x）在（-1，0）上为增函数．
当x＞0时，h'（x）＜0，h（x）在（0，+∞）上为减函数．
故h（x）在x=0处取得极大值，且就是最大值，而h（0）=0，
所以h（x）≤0，
即，…（8分）
（Ⅲ）由题意可知不等式 对任意的n∈N*都成立，
且不等式等价于不等式，
由知，，设，
则…（10分）
由（Ⅱ）知，，
即（1+x）ln2（1+x）-x2≤0，
所以F'（x）＜0，x∈（0，1]，
于是F（x）在（0，1]上为减函数．
故函数F（x）在（0，1]上的最小值为，
所以a的最大值为…（13分）