甘肃省兰州市2017届高三第一次诊断性考试数学（理） 试卷及答案

一、选择题

1. 难度：简单

已知集合，，则（   ）

A.     B.     C.     D.

2. 难度：简单

已知复数满足，则（   ）

A.     B.     C.     D.

3. 难度：简单

已知等差数列的前项和为，若，则（  ）

A. 36    B. 72    C. 144    D. 288

4. 难度：简单

已知某种商品的广告费支出 (单位:万元)与销售额 (单位:万元)之间有如表对应数据:

	2	4	5	6	8
	30	40	50		70

根据表中提供的全部数据,用最小二乘法得出与的线性回归方程为,则表中的值为(   )

A. 45    B. 50    C. 55    D. 60

5. 难度：简单

下列命题中，真命题为（  ）

A. ，

B. ，

C. 已知为实数，则的充要条件是

D. 已知为实数，则， 是的充分不必要条件

6. 难度：简单

某几何体三视图如图所示，则该几何体的表面积为

A.     B.     C.     D.

7. 难度：中等

设变量满足不等式组，则的最小值是

A.     B.     C.     D. 5

8. 难度：简单

右图中的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的值分别为6,8,0 时，则输出的=

A. 3    B. 4    C. 5    D. 6

9. 难度：中等

已知圆和两点，，，若圆上存在点，使得，则当取得最大值时，点的坐标是（ ）

A.     B.     C.     D.

10. 难度：中等

函数的部分图像如图所示：如果，则（  ）

A.     B.     C. 0    D.

11. 难度：中等

已知为双曲线的左，右焦点，点为双曲线右支上一点，直线与圆相切，且，则双曲线的离心率为（ ）

A.     B.     C.     D.

12. 难度：中等

设函数在上的导函数为，对有，在上，，若，则实数的取值范围是（ ）

A.     B.     C.     D.

二、填空题

13. 难度：简单

_______.

14. 难度：简单

的展开式中，项的系数为__________．（用数字作答）

15. 难度：困难

已知在三棱锥中，，，，，，且平面平面，那么三棱锥外接球的体积为__________．

三、选择题

16. 难度：中等

已知数列中，为数列的前项和，且当时，有成立，则__________．

四、解答题

17. 难度：中等

已知在中，角的对边分别为，且．

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若，，求的面积．

18. 难度：中等

随着人口老龄化的到来，我国的劳动力人口在不断减少，“延迟退休”已经成为人们越来越关注的话题，为了解公众对“延迟退休”的态度，某校课外研究性学习小组在某社区随机抽取了50人进行调查，将调查情况进行整理后制成下表：

年龄	[20,25)	[25,30)	[30,35)	[35,40)	[40,45)
人数	4	5	8	5	3
年龄	[45,50)	[50,55)	[55,60)	[60,65)	[65,70)
人数	6	7	3	5	4

经调查年龄在［25,30),[55,60）的被调查者中赞成“延迟退休”的人数分别是3人和2人.现从这两组的被调查者中各随机选取2人，进行跟踪调查．

（I）求年龄在［25,30）的被调查者中选取的2人都赞成“延迟退休”的概率；

（II）若选中的4人中，不赞成“延迟退休”的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．

19. 难度：中等

在正三棱柱中， ， ，点为的中点.

（I）求证： ；

（II）若点为上的点，且满足，若二面角的余弦值为，求实数的值.

20. 难度：中等

已知椭圆经过点，且离心率为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设是椭圆上的点，直线与（为坐标原点）的斜率之积为．若动点满足，试探究是否存在两个定点，使得为定值？若存在，求的坐标；若不存在，请说明理由．

21. 难度：困难

已知函数在上是增函数，且．

（Ⅰ）求的取值范围；

（Ⅱ）若，试证明．

22. 难度：简单

选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．

⑴求圆的直角坐标方程与直线的普通方程；

⑵设直线截圆的弦长的半径长的倍，求的值．

23. 难度：简单

选修4-5：不等式选讲

已知函数的定义域为．

（Ⅰ）求的取值范围；

（Ⅱ）若的最大值为，解关于的不等式：．