Question

已知函数在上是增函数，且．

（Ⅰ）求的取值范围；

（Ⅱ）若，试证明．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.

【解析】试题分析：(Ⅰ)求出,函数在上为增函数,则有在上恒成立,进而可转化为函数的最值问题解决;
(Ⅱ)根据在上为增函数,可得,从而可证明;构造函数,易判在上为减函数,可得,由此可证明.

试题解析：

（Ⅰ），

由于，且，所以，即由于

所以，即

（Ⅱ）因为，由（Ⅰ）知，所以，在上是增函数，所以，即，

化简得，

等价为，

令，则，

所以函数在上为减函数．

所以，

综上得证．

点睛：本题主要考查函数导数与不等式，恒成立问题.要证明一个不等式，我们可以先根据题意所给条件化简这个不等式，如第一问的不等式，可以踩点第一问的结论，第二个不等式可以转化为，划归与转化之后，就可以假设相对应的函数，然后利用导数研究这个函数的单调性、极值和最值，图像与性质，进而求解得结果.