选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线
的参数方程为
（
为参数，
），以原点
为极点，
正半轴为极轴建立极坐标系，圆
的极坐标方程为
．
⑴求圆的直角坐标方程与直线的普通方程；
⑵设直线截圆的弦长的半径长的
倍，求
的值．
已知函数
在
上是增函数，且
．
（Ⅰ）求
的取值范围；
（Ⅱ）若
，试证明
．
已知椭圆
经过点
，且离心率为
．
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）设
是椭圆上的点，直线
与
（
为坐标原点）的斜率之积为
．若动点
满足
，试探究是否存在两个定点
，使得
为定值？若存在，求的坐标；若不存在，请说明理由．
在正三棱柱
中， 
， 
，点
为
的中点.
（I）求证： 
；
（II）若点
为
上的点，且满足
，若二面角
的余弦值为
，求实数
的值.
随着人口老龄化的到来，我国的劳动力人口在不断减少，“延迟退休”已经成为人们越来越关注的话题，为了解公众对“延迟退休”的态度，某校课外研究性学习小组在某社区随机抽取了50人进行调查，将调查情况进行整理后制成下表：
年龄 | [20,25) | [25,30) | [30,35) | [35,40) | [40,45) |
人数 | 4 | 5 | 8 | 5 | 3 |
年龄 | [45,50) | [50,55) | [55,60) | [60,65) | [65,70) |
人数 | 6 | 7 | 3 | 5 | 4 |
经调查年龄在［25,30),[55,60）的被调查者中赞成“延迟退休”的人数分别是3人和2人.现从这两组的被调查者中各随机选取2人，进行跟踪调查．
（I）求年龄在［25,30）的被调查者中选取的2人都赞成“延迟退休”的概率；
（II）若选中的4人中，不赞成“延迟退休”的人数为
，求随机变量
的分布列和数学期望．
已知在
中，角
的对边分别为
，且
．
（Ⅰ）求角
的大小；
（Ⅱ）若
，
，求的面积
．
