选修4-5:不等式选讲
已知函数的定义域为.
(Ⅰ)求的取值范围;
(Ⅱ)若的最大值为,解关于的不等式:.
选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数,),以原点为极点,正半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为.
⑴求圆的直角坐标方程与直线的普通方程;
⑵设直线截圆的弦长的半径长的倍,求的值.
已知函数在上是增函数,且.
(Ⅰ)求的取值范围;
(Ⅱ)若,试证明.
已知椭圆经过点,且离心率为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设是椭圆上的点,直线与(为坐标原点)的斜率之积为.若动点满足,试探究是否存在两个定点,使得为定值?若存在,求的坐标;若不存在,请说明理由.
在正三棱柱中, , ,点为的中点.
(I)求证: ;
(II)若点为上的点,且满足,若二面角的余弦值为,求实数的值.
随着人口老龄化的到来,我国的劳动力人口在不断减少,“延迟退休”已经成为人们越来越关注的话题,为了解公众对“延迟退休”的态度,某校课外研究性学习小组在某社区随机抽取了50人进行调查,将调查情况进行整理后制成下表:
年龄 | [20,25) | [25,30) | [30,35) | [35,40) | [40,45) |
人数 | 4 | 5 | 8 | 5 | 3 |
年龄 | [45,50) | [50,55) | [55,60) | [60,65) | [65,70) |
人数 | 6 | 7 | 3 | 5 | 4 |
经调查年龄在[25,30),[55,60)的被调查者中赞成“延迟退休”的人数分别是3人和2人.现从这两组的被调查者中各随机选取2人,进行跟踪调查.
(I)求年龄在[25,30)的被调查者中选取的2人都赞成“延迟退休”的概率;
(II)若选中的4人中,不赞成“延迟退休”的人数为,求随机变量的分布列和数学期望.