2017届湖南省长沙市、衡阳八中等十校高三第二次联考数学（理）试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：简单

设集合， ，则（   ）

A.     B.     C.     D.

2. 难度：简单

若复数满足， （   ）

A.     B.     C.     D.

3. 难度：简单

在各项为正数的等比数列中， ， ，则（   ）

A. 144    B. 121    C. 169    D. 148

4. 难度：简单

长郡中学夏季运动会上，铁饼项目运动员往一矩形区域进行扔饼训练，该矩形长为6，宽为4，铁饼是半径为1的圆，该运动员总能将铁饼圆心仍在矩形区域内，则该运动员能将铁饼完全扔进矩形区域的概率为（   ）

A.     B.     C.     D.

5. 难度：中等

若抛物线的焦点到双曲线的渐进线的距离为，则抛物线的标准方程为（   ）

A.     B.

C. 或    D. 或

6. 难度：中等

已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（   ）

A.     B.     C.     D.

7. 难度：中等

函数的图象大致为（   ）

A.     B.     C.     D.

8. 难度：中等

已知，如果方程， ， 的根分别为， ， ，则， ， 的大小关系为（   ）

A.     B.     C.     D.

9. 难度：简单

执行如图所示的程序框图，如果输出的，则输入的值为（   ）

A. 7    B. 8    C. 9    D. 10

10. 难度：困难

已知双曲线（， ）的左、右焦点分别为， ，点在双曲线的右支上，若， ，则双曲线的离心率为（   ）

A.     B.     C.     D.

11. 难度：中等

三棱锥的三条侧棱互相垂直，且，则其外接球上的点到平面的距离最大值为（   ）

A.     B.     C.     D.

12. 难度：困难

已知函数对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（   ）

A.     B.

C.     D.

二、填空题

13. 难度：简单

已知向量， 满足， ， ，则__________．

14. 难度：中等

在（）的展开式中， 的偶数次的项系数之和比的奇数次的项系数之和大1，则的值为__________．

15. 难度：简单

在等差数列中， ， ，则__________．

16. 难度：困难

2016年被业界称为（虚拟现实技术）元年，未来技术将给教育、医疗、娱乐、商业、交通旅游等多领域带来极大改变，某教育设备生产企业有甲、乙两类产品，其中生产一件甲产品需团队投入15天时间， 团队投入20天时间，总费用10万元，甲产品售价为15万元/件；生产一件乙产品需团队投入20天时间， 团队投入16天时间，总费用15万元，乙产品售价为25万元/件， 、两个团队分别独立运作．现某客户欲以不超过200万元订购该企业甲、乙两类产品，要求每类产品至少各3件，在期限180天内，为使企业总效益最佳，则最后交付的甲、乙两类产品数之和为__________．

三、解答题

17. 难度：中等

已知的三个内角， ， 的对边分别为， ， ，且．

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若， 的面积为，求， 的值．

18. 难度：中等

在正方形中， 的中点为点， 的中点为点，沿将向上折起得到，使得面面，此时点位于点处．

（Ⅰ）证明： ；

（Ⅱ）求面与面所成二面角的正弦值．

19. 难度：中等

为了参加第二届全国数学建模竞赛，长郡中学在高二年级举办了一次选拔赛，共有60名高二学生报名参加，按照不同班级统计参赛人数，如表所示：

班级	宏志班	珍珠班	英才班	精英班
参赛人数	20	15	15	10

（Ⅰ）从这60名高二学生中随机选出2人，求这2人在同一班级的概率；

（Ⅱ）现从这60名高二学生中随机选出2人作为代表，进行大赛前的发言，设选出的2人中宏志班的学生人数为，求随机变量的分布列和数学期望．

20. 难度：困难

动点在圆： 上运动，定点，线段的垂直平分线与直线的交点为．

（Ⅰ）求的轨迹的方程；

（Ⅱ）过点的直线， 分别交轨迹于， 两点和， 两点，且．证明：过和中点的直线过定点．

21. 难度：压轴

已知函数（）．

（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值与曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）若，且当时， 恒成立，求的最大值．（）

22. 难度：中等

选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，曲线： （为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为．

（Ⅰ）分别求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）设直线交曲线于， 两点，交曲线于， 两点，求的长．

23. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲

已知函数．

（Ⅰ）若不等式的解集是空集，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若存在，使得成立，求实数的取值范围．