Question

已知函数（）．

（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值与曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）若，且当时， 恒成立，求的最大值．（）

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】试题分析：（Ⅰ）求导，利用导数的几何意义和两直线垂直的判定求出值，进而利用点斜式方程进行求解；（Ⅱ）分离参数，合理构造函数，将问题转化为求函数的最值问题，再利用导数研究函数的单调性和最值．

试题解析：（Ⅰ）因为，所以， ．

又曲线在点处的切线与直线垂直，故，解得，

所以， ．

所以曲线在点处的切线方程为，即．

（Ⅱ）当时， 恒成立等价于恒成立，等价于当时， 恒成立．

设（），则，记，

则，所以在上单调递增．

又， ，

所以在上存在唯一的实数根，使得，①

因此当时， ，即，则在上单调递减；

当时， ，即，则在上单调递增．

所以当时， ，由①可得，

所以．

因为， ，又， ，

所以，因此，

又，所以．