Question

动点在圆： 上运动，定点，线段的垂直平分线与直线的交点为．

（Ⅰ）求的轨迹的方程；

（Ⅱ）过点的直线， 分别交轨迹于， 两点和， 两点，且．证明：过和中点的直线过定点．

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】试题分析：（Ⅰ）先利用线段的中垂线的性质和椭圆的定义判定动点的轨迹为椭圆，再求其轨迹方程；（Ⅱ）先利用直线的特殊情况探索直线过定点，再联立直线和椭圆方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式进行求解．

试题解析：（Ⅰ）连接，根据题意，可知，则，

故点的轨迹为以、为焦点，长轴长为4的椭圆，则， ，

∴，

所以点的轨迹的方程为．

（Ⅱ）分别设直线和的中点为、，当直线斜率不存在或为0时，分析可知直线与轴重合，当直线的斜率为1时，此时， ，直线的方程为，联立解得直线经过定点．

下面证明一般性：当直线的斜率存在且不为0,1时，设直线的方程为，

则直线的方程为，设， ，

联立消去得，

则，所以，

即，同理： ，

于是直线的斜率为，

故直线的方程为，

显然时， ，故直线经过定点．

点睛：在处理直线和圆锥曲线的位置关系时，往往先根据题意合理设出直线方程，再联立直线和圆锥曲线方程，但要注意“直线不存在斜率”的特殊情况，如本题中利用直线不存在斜率时探究其定点，给一般情形找到了目标.