2012-2013学年甘肃省嘉峪关一中高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

x²-3x+2＞0是“x＞2”成立的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

2. 难度：中等

顶点在原点，焦点是（0，5）的抛物线方程是（ ）
A．x²=20y
B．y²=20
C．y²=
D．x²=y

3. 难度：中等

下列命题中的假命题是（ ）
A．∃x∈R，lgx=0
B．∃x∈R，tanx=1
C．∀x∈R，x³＞0
D．∀x∈R，2^x＞0

4. 难度：中等

设a＞1＞b＞-1，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A．
B．
C．a＞b²
D．a²＞2b

5. 难度：中等

若函数f（x）=x³+2x²-1，则f′（-1）=（ ）
A．-7
B．-1
C．1
D．7

6. 难度：中等

关于x的不等式x²-x-5＞3x的解集是（ ）
A．{x|x≥5或x≤-1}
B．{x|x＞5或x＜-1}
C．{x|-1＜x＜5}
D．{x|-1≤x≤5}

7. 难度：中等

在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，AB=4，AD=3，AA′=5，∠BAD=90°，∠BAA′=∠DAA′=60°，则对角线AC′的长度为（ ）
A．6
B．
C．8
D．

8. 难度：中等

函数y=cos2x在点处的切线方程是（ ）
A．4x+2y+π=0
B．4x-2y+π=0
C．4x-2y-π=0
D．4x+2y-π=0

9. 难度：中等

已知点，椭圆与直线交于点A、B，则△ABM的周长为（ ）
A．4
B．8
C．12
D．16

10. 难度：中等

设函数f（x）是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y=f（x）在x=5处的切线的斜率为（ ）
A．
B．0
C．
D．5

11. 难度：中等

设F是双曲线C：的右焦点，l是双曲线C的一条渐近线，过F作一条直线垂直与l，垂足为P，则sin∠OFP的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

已知函数f（x）=x³ax²+bx+c在x₁处取得极大值，在x₂处取得极小值，满足x₁∈（-1，0），x₂∈（0，1），则的取值范围是（ ）
A．（0，2）
B．（1，3）
C．[0，3]
D．[1，3]

二、填空题

13. 难度：中等

已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是    ．

14. 难度：中等

若f（x）=，则=    ．

15. 难度：中等

函数y=log_a（x+3）-1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则+的最小值为    ．

16. 难度：中等

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是面BCC₁B₁和面CDD₁C₁的中心，则异面直线A₁E和B₁F所成角的余弦值为    ．

17. 难度：中等

设O为坐标原点，F₁，F₂是椭圆的左、右焦点，若在椭圆上存在点P满足，且，则该椭圆的离心率为    ．

18. 难度：中等

以下命题正确的有    ．
①到两个定点F₁，F₂距离的和等于定长的点的轨迹是椭圆；
②“若ab=0，则a=0或b=0”的逆否命题是“若a≠0且b≠0，则ab≠0”；
③当f′（x）=0时，则f（x）为f（x）的极值；
④曲线y=2x³-3x²共有2个极值．

三、解答题

19. 难度：中等

已知p：方程表示双曲线，q：过点M（2，1）的直线与椭圆恒有公共点，若p∧q为真命题，求k的取值范围．

20. 难度：中等

求下列各函数的导数．
（1）y=x²+；   
（2）y=xcos（2x）．

21. 难度：中等

已知不等式x²-2x-3＜0的解集为A，不等式x²+x-6＜0的解集是B．
（1）求A∩B；
（2）若不等式x²+ax+b＜0的解集是A∩B，求ax²+x+b＜0的解集．

22. 难度：中等

设．
（1）若f'（2）=0，求过点（2，f（2））的切线方程；
（2）若f（x）在其定义域内为单调增函数，求k的取值范围．

23. 难度：中等

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，已知AB=4，AD=3，AA₁=2，E，F分别是棱AB，BC 上的点，且EB=FB=1．
（1）求异面直线EC₁与FD₁所成角的余弦值；
（2）试在面A₁B₁C₁D₁ 上确定一点G，使DG⊥平面D₁EF．

24. 难度：中等

已知椭圆经过点A（2，1），离心率为，过点B（3，0）的直线l与椭圆交于不同的两点M，N．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求的取值范围．