Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，已知AB=4，AD=3，AA₁=2，E，F分别是棱AB，BC 上的点，且EB=FB=1．
（1）求异面直线EC₁与FD₁所成角的余弦值；
（2）试在面A₁B₁C₁D₁ 上确定一点G，使DG⊥平面D₁EF．

Answer

（1）以D为原点，，，分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系A-xyz，写出要用的点的坐标，把两条直线对应的点的坐标写出来，根据两个向量之间的夹角表示出异面直线的夹角．
（2）因为点G在平面A1B1C1D1 上，故可设G（x，y，2）．根据线面垂直，则直线的方向向量与平面内任一线段对应的向量均垂直，可构造关于x，y的方程组，解方程组可得G点位置．
【解析】
（1）以D为原点，，，分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系，
则有D1（0，0，2），C1（0，4，2），E（3，3，0），F（2，4，0），
于是=（-3，1，2），=（-2，-4，2），
设设EC1与FD1所成角为β，
则cosβ==．
∴异面直线EC1与FD1所成角的余弦值为．
（2）因为点G在平面A1B1C1D1 上，故可设G（x，y，2）．
=（x，y，2），=（-2，-4，2），=（-1，1，0）．
由得
解得
故当点G在平面A1B1C1D1 上，
且到A1d1，C1D1 距离均为时，DG⊥平面D1EF