2012-2013学年浙江省杭州二中高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

直线y=-x+的斜率为（ ）
A．-
B．
C．
D．-

2. 难度：中等

直线xcosa+ysina=4与圆x²+y²=4的位置关系是（ ）
A．相切
B．相离
C．相交
D．不能确定

3. 难度：中等

设A（-1，2），B（3，1），若直线y=kx与线段AB没有公共点，则k的取值范围是（ ）
A．（-ω，-2）∪（，+ω）
B．（-ω，-）∪（2，+ω）
C．（-，2）
D．（-2，）

4. 难度：中等

两条异面直线在同一平面的射影不可能的是（ ）
A．同一直线
B．两条平行线
C．两条相交直线
D．一点和一条直线

5. 难度：中等

已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：
①m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β； 
②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β； 
③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；
④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n．
其中正确的命题的序号是（ ）
A．①③
B．②③
C．①④
D．②④

6. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥CD，AD⊥DC，PD=AD=DC=2AB，则异面直线PA与BC所成角的余弦值为（ ）

A．
B．
C．-
D．

7. 难度：中等

直线l₁：x-2y-2=0关于直线l₂：x+y=0对称的直线l₃的方程为（ ）
A．2x-y-2=0
B．2x-y+2=0
C．2x-y-1=0
D．2x-y+1=0

8. 难度：中等

已知在平面直角坐标系xOy上的区域M由不等式组给定．若点P（a+b，a-b）在区域M内，则4a+2b-1的最大值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6

9. 难度：中等

直线y=kx+3与圆（x-3）²+（y-2）²=4相交于M，N两点，若，则k的取值范围是（ ）
A．[-，0]
B．
C．[-]
D．[-，0]

10. 难度：中等

已知点P，A，B共面，且AB=2，PA=2PB，若记P到AB中点O的距离的最大值为d₁，最小值为d₂，则d₁-d₂=（ ）
A．
B．
C．3
D．

二、填空题

11. 难度：中等

已知直线l经过点P（3，1），且与直线y=4x-1平行，则直线l的一般式方程是    ．

12. 难度：中等

在空间直角坐标系O-xyz中，已知点A关于xOy平面的对称点为M（2，-3，5），M关于x轴的对称点为B，则线段AB的长度等于    ．

13. 难度：中等

如图，已知可行域为△ABC及其内部，若目标函数z=kx+y当且仅当在点A处取得最大值，则k的取值范围是    ．

14. 难度：中等

球面上有四个点P、A、B、C，若PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=1，则该球的表面积是    ．

15. 难度：中等

若某几何体的三视图 （单位：cm） 如图所示，则此几何体的体积是    cm³．

16. 难度：中等

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁与平面ACD₁所成角的余弦值为    ．

17. 难度：中等

函数f（x）=的最小值为    ．

三、解答题

18. 难度：中等

求过直线x+2y=0与圆x²+y²-2x=0的交点A、B，且面积最小的圆的方程．

19. 难度：中等

已知实数x，y满足x²+y²+2x-2y=0．
（Ⅰ）求x-y的取值范围；
（II）当实数a为何值时，不等式x²+y²-a≤0恒成立？

20. 难度：中等

在如图所示的四棱锥P-ABCD中，已知 PA⊥平面ABCD，AB∥DC，∠DAB=90°，PA=AD=DC=1，AB=2，M为PB的中点．
（Ⅰ）求证：MC∥平面PAD；
（Ⅱ）求直线MC与平面PAC所成角的余弦值；
（Ⅲ）求二面角A-PB-C的平面角的正切值．

21. 难度：中等

设圆（x-2）²+（y-2）²=4的切线l与两坐标轴交于点A（a，0），B（0，b），ab≠0．
（Ⅰ）证明：（a-4）（b-4）为定值；
（II）求线段AB中点M的轨迹方程；
（Ⅲ）若a＞4，b＞4，求△AOB的周长的最小值．