(Ⅰ)取PA的中点E,连接ME,DE,证明四边形DCME为平行四边形,可得MC∥DE,利用线面平行的判定,可得MC∥平面PAD;
(Ⅱ)取PC中点N,则可得∠MCN为直线MC与平面PAC所成角,从而可求直线MC与平面PAC所成角的余弦值;
(Ⅲ)取AB的中点H,连接CH,过H作HG⊥PB于G,连接CG,则∠CGH为二面角A-PB-C的平面角,由此可求二面角A-PB-C的平面角的正切值.
(Ⅰ)证明:如图,取PA的中点E,连接ME,DE,∵M为PB的中点,
∴EM∥AB,且EM=AB.
又∵AB∥DC,且DC=AB,
∴EM∥DC,且EM=DC
∴四边形DCME为平行四边形,∴MC∥DE,
又MC⊄平面PAD,DE⊂平面PAD
所以MC∥平面PAD;
(Ⅱ)【解析】
取PC中点N,则MN∥BC
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BC,
又AC2+BC2=2+2=AB2,∴AC⊥BC
∵PA∩AC=A,PA⊥BC,AC⊥BC
∴BC⊥平面PAC,
∴MN⊥平面PAC
∴∠MCN为直线MC与平面PAC所成角,
∵NC=PC=,MC=PB=,
∴cos∠MCN==;
(Ⅲ)【解析】
取AB的中点H,连接CH,则由题意得CH⊥AB
又PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CH,则CH⊥平面PAB.
所以CH⊥PB,
过H作HG⊥PB于G,连接CG,则PB⊥平面CGH,所以CG⊥PB,则∠CGH为二面角A-PB-C的平面角.
∵PA=1,∴CH=1,AB=2,
∵PA=1,AB=2,∴PB==
∴GH=BHsin∠PBA=BH=,∴tan∠CGH==
故二面角A-PB-C的平面角的正切值为.