2012-2013学年江西省南昌十九中高三（上）第二次月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若空集是集合{x|x²≤a，a∈R}的真子集，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，+∞）
B．[0，+∞）
C．（-∞，0）
D．（-∞，0]

2. 难度：中等

△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且=（b-c，cosC），=（a，cosA），若，则cosA=（ ）
A．
B．
C．
D．

3. 难度：中等

由曲线y=x²，y=x³围成的封闭图形面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，，则=（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

在下列函数中，图象关于原点对称的是（ ）
A．y=xsin
B．y=
C．y=xln
D．y=x³+sin

6. 难度：中等

已知向量、都是非零向量，“”是“∥”的（ ）
A．必要非充分条件
B．充分非必要条件
C．充要条件
D．既非充分也非必要条件

7. 难度：中等

已知函数f（x）=（x-a）（x-b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数g（x）=a^x+b^x的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

已知，则的值是（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知向量，且，则向量等于（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

定义在R上的函数f（x）满足f（-x）=-f（x），f（x-2）=f（x+2）且x∈（-1，0）时，f（x）=2^x+，则f（log₂20）=（ ）
A．1
B．
C．-1
D．-

二、填空题

11. 难度：中等

已知，则f（）+f（-）的值等于    ．

12. 难度：中等

已知单位向量，的夹角为120°，当|2+x|（x∈R）取得最小值时x=    ．

13. 难度：中等

已知sinα-cosα=，且α∈（0，π），则的值为    ．

14. 难度：中等

若平面上三点A、B、C满足||=3，||=4，||=5，则•+•+•的值等于     ．

15. 难度：中等

对于函数y=f（x），存在区间[a，b]，当x∈[a，b]时，y∈[ka，kb]（k＞0），则称y=f（x）为k倍值函数．已知f（x）=e^x+x是k倍值函数，则实数k的取值范围是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

在锐角△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知sinA=．
（Ⅰ）求tan²的值；
（Ⅱ）若a=2，S_△ABC=，求b的值．

17. 难度：中等

已知y=f（x）是二次函数，且f（0）=8及f（x+1）-f（x）=-2x+1
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数y=log₃f（x）的单调递减区间及值域．

18. 难度：中等

已知A，B，C是三角形△ABC三内角，向量，且
（1）求角A；         
（2）若，求tanB．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=，其中，=（cosωx-sinωx，2sinωx），其中ω＞0，若f（x）相邻两对称轴间的距离不小于．
（Ⅰ）求ω的取值范围；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a=，b+c=3，当ω最大时，f（A）=1，求△ABC的面积．

20. 难度：中等

如图（甲），在直角梯形ABED中，AB∥DE，AB⊥BE，AB⊥CD，且BC=CD，AB=2，F、H、G分别为AC，AD，DE的中点，现将△ACD沿CD折起，使平面ACD⊥平面CBED，如图（乙）．
（1）求证：平面FHG∥平面ABE；
（2）记BC=x，V（x）表示三棱锥B-ACE的体积，求V（x）的最大值；
（3）当V（x）取得最大值时，求二面角D-AB-C的余弦值．P_n（x_n，y_n）

21. 难度：中等

已知函数f（x）=-x³+ax²+1，（a∈R）
（1）若在f（x）的图象上横坐标为的点处存在垂直于y轴的切线，求a的值；
（2）若f（x）在区间（-2，3）内有两个不同的极值点，求a取值范围；
（3）在（1）的条件下，是否存在实数m，使得函数g（x）=x⁴-5x³+（2-m）x²+1的图象与函数f（x）的图象恰有三个交点，若存在，试出实数m的值；若不存在，说明理由．