2012-2013学年浙江省宁波市慈溪中学高三（上）第一次月考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合，则M∩P等于（ ）
A．{x|0＜x≤3，x∈Z}
B．{x|0≤x≤3，x∈Z}
C．{x|-1≤x≤0，x∈Z}
D．{x|-1≤x＜0，x∈Z}

2. 难度：中等

若（a-2i）i=b-i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则复数a+bi=（ ）
A．1+2i
B．-1+2i
C．-1-2i
D．1-2i

3. 难度：中等

不等式ax²-2x+1＜0的解集非空的一个必要而不充分条件是（ ）
A．a＜1
B．a＜0
C．0＜a＜1
D．a≤1

4. 难度：中等

若M为△ABC所在平面内一点，且满足（）•-2=0，则△ABC的形状为（ ）
A．正三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰直角三角形

5. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=a_n+n，利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框中应填的语句是（ ）

A．n＞10
B．n≤10
C．n＜9
D．n≤9

6. 难度：中等

-个几何体的三视图及其尺寸如图所示，其中正（主）视图是直角三角形，侧（左）视图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的体积是（单位cm³）（ ）
A．
B．
C．
D．π

7. 难度：中等

若实数x，y满足不等式组且x+y的最大值为9，则实数m=（ ）
A．-2
B．-1
C．1
D．2

8. 难度：中等

将函数y=f（x）的图象沿着直线y=x的方向向右上方平移两个单位，得到y=sin2x，则f（x）的解析式为（ ）
A．y=sin（2x+2）-
B．y=sin（2x+1）-
C．y=sin（2x-2）+
D．y=sin（2x-1）+

9. 难度：中等

若函数（a＞0，a≠1）在区间内单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．，+∞）
B．（1，]
C．[，1）
D．[，1）

10. 难度：中等

已知椭圆C₁：=1 （a＞b＞0）与双曲线C₂：x²-=1 有公共的焦点，C₂的一条渐近线与以C₁的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C₁恰好将线段AB三等分，则（ ）
A．a²=
B．a²=3
C．^_b2=
D．^_b2=2

二、填空题

11. 难度：中等

已知sin（-x）=，则sin2x的值为     ．

12. 难度：中等

函数的定义域为    ；

13. 难度：中等

已知函数f（x）=x|2-x|-m有3个零点分别为x₁，x₂，x₃，则x₁+x₂+x₃的取值范围是    ．

14. 难度：中等

若函数为奇函数，则实数a=    ．

15. 难度：中等

若数列{a_n}的各项按如下规律排列：，，…，…，则a₂₀₁₂=    ．

16. 难度：中等

若{b_n}是等比数列，m、n、p是互不相等的正整数，则有正确的结论：．类比上述性质，相应地，若{a_n}是等差数列，m、n、p是互不相等的正整数，则有正确的结论：    ．

17. 难度：中等

设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+l∈D，且f（x+l）≥f（x），则称f（x）为M上的“l高调函数”．现给出下列命题：
①函数f（x）=2^x为R上的“1高调函数”；
②函数f（x）=sin2x为R上的“A高调函数”；
③如果定义域为[-1，+∞）的函数f（x）=x²为[-1，+∞）上“m高调函数”，那么实数m的取值范围是[2，+∞）；
其中正确的命题是    ．（写出所有正确命题的序号）

三、解答题

18. 难度：中等

已知向量，设函数．
（1）求f（x）的最小正周期与单调递减区间
（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若f（A）=4，b=1，△ABC的面积为，求a的值．

19. 难度：中等

设数列{a_n}是首项为a₁（a₁＞0），公差为2的等差数列，其前n项和为S_n，且成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n]的通项公式；
（Ⅱ）记的前n项和为T_n，求T_n．

20. 难度：中等

如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，点M在边DC上，点F在边AB上，且DF⊥AM，垂足为E，若将△ADM沿AM折起，使点D位于D′位置，连接D′B，D′C得四棱锥D′-ABCM．
（Ⅰ）求证：AM⊥D′F；
（Ⅱ）若∠D′EF=，直线D'F与平面ABCM所成角的大小为，求直线AD′与平面ABCM所成角的正弦值．

21. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

22. 难度：中等

已知f（x）=xlnx，g（x）=x³+ax²-x+2．
（Ⅰ）如果函数g（x）的单调递减区间为，求函数g（x）的解析式；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数y=g（x）的图象在点P（-1，1）处的切线方程；
（Ⅲ）若不等式2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．