2011-2012学年山东省聊城市临清三中高三（上）期末数学考前试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

i为虚数单位，复平面内表示复数z=的点在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限

2. 难度：中等

已知集合M={x||2x-1|＜1}，N={x|3^x＞1}，则M∩N=（ ）
A．∅
B．{x|x＜0}
C．{x|x＜1}
D．{x|0＜x＜1}

3. 难度：中等

若log_a2＜0（a＞0，且a≠1），则函数f（x）=log_a（x+1）的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的公比为正数，且，则a₁=（ ）
A．
B．
C．
D．2

5. 难度：中等

已知变量x、y满足约束条件，则z=3x+2y的最大值为（ ）
A．-3
B．
C．-5
D．4

6. 难度：中等

过点（0，1）且与曲线y=在点（3，2）处的切线垂直的直线的方程为（ ）
A．2x-y+1=0
B．2x+y-1=0
C．x+2y-2=0
D．x-2y+2=0

7. 难度：中等

为了得到函数y=sin2x+cos2x的图象，只需把函数y=sin2x-cos2x的图象（ ）
A．向左平移个长度单位
B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位
D．向右平移个长度单位

8. 难度：中等

关于直线m、n与平面α、β，有以下四个命题：
①若m∥n，m⊂α，α∩β=n，则m∥n；
②若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；
③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；
④若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n．
其中真命题有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

9. 难度：中等

若函数f（x）的导函数f′（x）=x²-4x+3，则使得函数f（x-1）单调递减的一个充分不必要条件是x∈（ ）
A．[0，1]
B．[3，5]
C．[2，3]
D．[2，4]

10. 难度：中等

设若f（x）=，f（f（1））=1，则a的值是（ ）
A．-1
B．2
C．1
D．-2

11. 难度：中等

△ABC中，∠A=60°，∠A的平分线AD交边BC于D，已知AB=3，且，则AD的长为（ ）
A．1
B．
C．
D．3

12. 难度：中等

在三棱锥S-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，SA=SC=2，，二面角S-AC-B的余弦值是，若S、A、B、C都在同一球面上，则该球的表面积是（ ）
A．
B．
C．24
D．6π

二、填空题

13. 难度：中等

在△ABC中，，且，则△ABC的面积是    ．

14. 难度：中等

某几何体的三视图如图所示，则它的体积是    ．

15. 难度：中等

已知向量满足：，且，则向量与的夹角是    ．

16. 难度：中等

若等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，前n项的和为S_n，则数列为等差数列，且通项为．类似地，请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列{b_n}的首项为b₁，公比为q，前n项的积为T_n，则    ．

三、解答题

17. 难度：中等

设{a_n}是公比大于1的等比数列，S_n为数列{a_n}的前n项和．已知S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4构成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）令b_n=lna_3n+1，n=1，2，…，求数列{b_n}的前n项和T_n．

18. 难度：中等

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC与BD的交点为O，E为侧棱SC上一点．
（Ⅰ）当E为侧棱SC的中点时，求证：SA∥平面BDE；
（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面SAC；
（Ⅲ）（理科）当二面角E-BD-C的大小为45°时，试判断点E在SC上的位置，并说明理由．

19. 难度：中等

已知锐角△ABC的三内角A、B、C的对边分别是．
（1）求角A的大小；
（2）求的值．

20. 难度：中等

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为3的正三角形，侧棱AA₁垂直于底面ABC，AA₁=，D是CB延长线上一点，且BD=BC．
（1）求证：直线BC₁∥平面AB₁D；
（2）求二面角B₁-AD-B的大小；
（3）求三棱锥C₁-ABB₁的体积．

21. 难度：中等

已知函数f（x）=（a-3b+9）ln（x+3）++（b-3）x．
（1）当a＞0且a≠1，f'（1）=0时，试用含a的式子表示b，并讨论f（x）的单调区间；
（2）若f'（x）有零点，f'（3）≤，且对函数定义域内一切满足|x|≥2的实数x有f'（x）≥0．
①求f（x）的表达式；
②当x∈（-3，2）时，求函数y=f（x）的图象与函数y=f'（x）的图象的交点坐标．

22. 难度：中等

选修4-1：几何证明选讲
如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x²-14x+mn=0的两个根．
（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；
（Ⅱ）若∠A=90°，且m=4，n=6，求C，B，D，E所在圆的半径．

23. 难度：中等

以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的单位长度．已知直线l经过点P（1，1），倾斜角α=．
（I）写出直线l的参数方程；
（II）设l与圆ρ=2相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积．

24. 难度：中等

选修4-5；不等式选讲
已知函数f（x）=|2x-a|+a．
（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|-2≤x≤3}，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m-f（-n）成立，求实数m的取值范围．