Question

在三棱锥S-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，SA=SC=2，，二面角S-AC-B的余弦值是，若S、A、B、C都在同一球面上，则该球的表面积是（ ）
A．
B．
C．24
D．6π

Answer

由AB⊥BC，得△ABC的外接圆的圆心O′为AC中点，连接SO′，BO′，可证OO′⊥底面ABC，将平面SO′B取出，求出SB，作SB的中垂线，过O′作BO′的垂线，两者必相交于O，用余弦定理，求得cos∠O′BS，从而可知D，E，O三点重合了
，可得外接圆的半径，即可求得球的表面积．
【解析】
由AB⊥BC，得△ABC的外接圆的圆心O′为AC中点，连接SO′，BO′，由SA=SC和AB=BC有SO′⊥AC，BO′⊥AC
而四面体外接球的球心O在平面SO′B内，连接OO′，有OO′⊥底面ABC
将平面SO′B取出，则BO′=1，SO′=
用余弦定理可得cos∠SO′B=
∴SB=
作SB的中垂线，过O′作BO′的垂线，两者必相交于O，用余弦定理，cos∠O′BS=
如图，BE=O′B÷cos∠O′BS==
也就是D，E，O三点重合了
外接圆的半径R=OB=
∴球的表面积是4πR2=6π
故选D．