2012-2013学年山东省泰安市高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

（文）sin585°=（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合M={2，3，5}，N={4，5}，则C_U（M∪N）等于（ ）
A．{1，3，5}
B．{2，4，6}
C．{1，5}
D．{1，6}

3. 难度：中等

命题“所有实数的平方都是正数”的否定为（ ）
A．所有实数的平方都不是正数
B．有的实数的平方是正数
C．至少有一个实数的平方是正数
D．至少有一个实数的平方不是正数

4. 难度：中等

已知、均为单位向量，它们的夹角为60°，那么||=（ ）
A．
B．
C．
D．4

5. 难度：中等

如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，就可以计算出A、B两点的距离为（ ）
A．m
B．m
C．m
D．m

6. 难度：中等

已知，则tanα=（ ）
A．-1
B．
C．
D．1

7. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，a₉=，则数列{a_n}的前11项和S₁₁等于（ ）
A．24
B．48
C．66
D．132

8. 难度：中等

若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出下列四个函数：f₁（x）=2log₂x，f₂（x）=log₂（x+2），f₃=log₂²x，f₄=log₂（2x）则“同形”函数是（ ）
A．f₁（x）与f₂（x）
B．f₂（x）与f₃（x）
C．f₂（x）与f₄（x）
D．f₁（x）与f₄（x）

9. 难度：中等

如图，已知正六边形P₁P₂P₃P₄P₅P₆，下列向量的数量积中最大的是（ ）

A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

若函数f（x）=ka^x-a^-x，（a＞0，a≠1）在（-∞，+∞）上既是奇函数，又是增函数，则g（x）=log_a（x+k）的是（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

函数f（x）=sin（ωx+φ）（）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f（x）的图象（ ）
A．关于点对称
B．关于点对称
C．关于直线对称
D．关于直线对称

12. 难度：中等

已知函数y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，且当x＞0，f（x）+xf′（x）＞0（其中f′（x）是f（x）的导函数），a={4}f4，b=f（）设c=（lg），则a，b，c的大小关系是（ ）
A．c＞a＞b
B．c＞b＞a
C．a＞b＞c
D．a＞c＞b

二、填空题

13. 难度：中等

=    ．

14. 难度：中等

设数列{a_n}的前n项的和为S_n，且a₁=1，a_n+1=3S_n（n=1，2…），则log₂S₄等于    ．

15. 难度：中等

已知函数的图象在点A（x，y）处的切线斜率为1，则tanx=    ．

16. 难度：中等

已知实数a，b满足等式，则下列五个关系式：①0＜b＜a②a＜b＜0③0＜a＜b④b＜a＜0⑤a=b其中可能成立的关系为    （用编号作答）．

三、解答题

17. 难度：中等

已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₁，2S₂，3S₃成等差数列，且S₄=，求数列{a_n}的通项公式．

18. 难度：中等

已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，，且．
（1）求角A的大小；
（II）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．

19. 难度：中等

已知集合A为函数f（x）=lg（1+x）-lg（1-x）的定义域，集合B={x|1-a²-2ax-x²≥0}．
（I）若A∩B={x|≤x＜1}，求a的值；
（II）求证a≥2是A∩B=φ的充分不必要条件．

20. 难度：中等

已知函数f（x）=2sinωxcosωx-2sin²ωx+（ω＞0），直线x=x₁，x=x₂是函数y=f（x）的图象的任意两条对称轴，且|x₁-x₂|的最小值为．
（I）求ω的值；
（II）求函数f（x）的单调增区间；
（III）若f（a）=，求sin（π-4a）的值．

21. 难度：中等

如图，在C城周边已有两条公路l₁，l₂在点O处交汇，现规划在公路l₁，l₂上分别选择A，B两处为交汇点（异于点O）直接修建一条公路通过C城，已知OC=，∠AOB=75°，∠AOC=45°，设OA=xkm，OB=ykm．
（1）求y关于x的函数关系式并指出它的定义域；
（2）试确定点A、B的位置，使△OAB的面积最小．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx+x，g（x）=-x-1（a＞0）．
（I）求函数F（x）=f（x）+g（x）在（0，e]上的最小值；
（II）对于正实数m，方程2mf（x）=x²有唯一实数根，求m的值．