Question

已知函数f（x）=lnx+x，g（x）=-x-1（a＞0）．
（I）求函数F（x）=f（x）+g（x）在（0，e]上的最小值；
（II）对于正实数m，方程2mf（x）=x²有唯一实数根，求m的值．

Answer

（I）把f（x）和g（x）代入函数F（x），对其进行求导，得到极值点，利用导数研究函数F（x）在（0，e]上的最小值；
（II）由方程2mf（x）=x2中唯一实数解，知x2-2mlnx-2mx=0有唯一实数解，设g（x）=x2-2mlnx-2mx，则g′（x）=，令g′（x）=0，得x2-mx-m=0．由此入手能够推导出正数m的值．
【解析】
（I）函数F（x）=f（x）+g（x）=-1+lnx的定义域为{x|x＞0}
因为F′（x）=-+，a＞0时，解F′（x）＞0，即-+＞0，
得x＞a，所以在（a，+∞）上F（x）单调递增，
解F′（x）＜0，即-+＜0，得0＜x＜a，
所以在（0，a）上，F（x）单调递减，
因此：当a＜e时，函数在x=a处取得最小值F（a）=lna，
当a＞e时，函数在x=a处取得最小值F（e）=
综上：当0＜a≤e时，函数F（x）在区间（0，e]上最小值F（a）=lna；
当a＞e时，函数F（x）在区间（0，e]上最小值F（e）=；
（II）∵方程2mf（x）=x2中唯一实数解，
∴x2-2mlnx-2mx=0有唯一实数解，
设g（x）=x2-2mlnx-2mx，
∴g′（x）=，
令g′（x）=0，得x2-mx-m=0．
∵m＞0，∴△=m2+4m＞0，
方程有两异号根，设为x10，
∵x＞0，∴x1应舍去．
当x∈（0，x2）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，x2）上单调递减，
当x∈（x2，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（x2，+∞）上单调递增，
当x=x2时，g′（x2）=0，g（x）取最小值g（x2）．
∵g（x）=0有唯一解，∴g（x2）=0，
则，即，
∴2mlnx2+mx2-m=0，
∵m＞0，∴2lnx2+x2-1=0（*），
设函数h（x）=2lnx+x-1，
∵当x＞0时，h（x）是增函数，
∴h（x）=0至多有一解，
∵h（1）=0，
∴方程（*）的解为x2=1，
∴代入方程组解得m=；