2012-2013学年江苏省盐城市东台市安丰中学高三（上）期中数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

求值cos600°=    ．

2. 难度：中等

设M={m∈Z|-3＜m＜2}，N={n∈Z|-1≤n≤3}，则M∩N=    ．

3. 难度：中等

若将复数表示为a+bi（a，b∈R，i是虚数单位）的形式，则a+b=    ．

4. 难度：中等

已知函数f（x）=，若f（a）+f（1）=0，则实数a=    ．

5. 难度：中等

函数f（x）=x-lnx的单调减区间为    ．

6. 难度：中等

已知cos（θ-）=，θ∈（，π），则cosθ=    ．

7. 难度：中等

已知||=3，||=4，（+）•（+3）=33，则与的夹角为    ．

8. 难度：中等

等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S₁，2S₂，3S₃成等差数列，则{a_n}的公比为    ．

9. 难度：中等

已知函数．则函数f（x）在区间上的值域为    ．

10. 难度：中等

函数的图象与函数y=2sinπx（-2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于    ．

11. 难度：中等

定义在[-4，4]上的偶函数f（x）在区间[0，4]上单调递减，若f（1-m）＜f（m），则实数m的取值范围是    ．

12. 难度：中等

已知存在实数a，满足对任意的实数b，直线y=-x+b都不是曲线y=x³-3ax的切线，则实数a的取值范围是    ．

13. 难度：中等

已知函数f （x）=ax²+bx+与直线y=x相切于点A（1，1），若对任意x∈[1，9]，不等式f （x-t）≤x恒成立，则所有满足条件的实数t的值为    ．

14. 难度：中等

函数f（x）的定义域为D，若满足①f（x）在D内是单调函数，②存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[-b，-a]，那么y=f（x）叫做对称函数，现有f（x）=-k是对称函数，那么k的取值范围是    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知，且，．
（1）求cosα的值；
（2）证明：．

16. 难度：中等

如图，空间几何体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，直角梯形ADFE所在平面与面ABCD垂直，且AE⊥AD，EF∥AD，其中P，Q分别为棱BE，DF的中点．
（1）求证：BD⊥CE；
（2）求证：PQ∥平面ABCD．

17. 难度：中等

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₅+a₁₃=34，S₃=9．
（1）求数列{a_n}的通项公式及前n项和公式；
（2）设数列{b_n}的通项公式为，问：是否存在正整数t，使得b₁，b₂，b_m（m≥3，m∈N）成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由．

18. 难度：中等

已知椭圆E：的左顶点为A，左、右焦点分别为F₁、F₂，且圆C：过A，F₂两点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设直线PF₂的倾斜角为α，直线PF₁的倾斜角为β，当β-α=时，证明：点P在一定圆上．
（3）直线BC过坐标原点，与椭圆E相交于B，C，点Q为椭圆E上的一点，若直线QB，QC的斜率k_QB，k_QC存在且不为0，求证：k_QB•k_QC为定植．

19. 难度：中等

如图是一块长方形区域ABCD，AD=2（km），AB=1（km）．在边AD的中点O处，有一个可转动的探照灯，其照射角∠EOF始终为，设∠AOE=α（0≤α≤），探照灯O照射在长方形ABCD内部区域的面积为S．
（1）当0≤α＜时，写出S关于α的函数表达式；
（2）当0≤α≤时，求S的最大值．
（3）若探照灯每9分钟旋转“一个来回”（OE自OA转到OC，再回到OA，称“一个来回”，忽略OE在OA及OC反向旋转时所用时间），且转动的角速度大小一定，设AB边上有一点G，且∠AOG=，求点G在“一个来回”中，被照到的时间．

20. 难度：中等

已知．
（1）若函数f（x）在区间（a，a+1）上有极值，求实数a的取值范围；
（2）若关于x的方程f（x）=x²-2x+k有实数解，求实数k的取值范围；
（3）当n∈N*，n≥2时，求证：．

21. 难度：中等

选修4-1：几何证明选讲
已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧AC上的点（不与点A，C重合），延长BD至E．
求证：AD的延长线平分∠CDE．

22. 难度：中等

选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵，若矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α₁=，属于特征值5的一个特征向量为α₂=．求矩阵A，并写出A的逆矩阵．

23. 难度：中等

（极坐标与参数方程）在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，求曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=1的交点Q的极坐标．

24. 难度：中等

选修4-5 不等式证明选讲
设a，b，c均为正数，证明：．

25. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤，求k的取值范围．

26. 难度：中等

在平面直角坐标系xoy中，已知焦点为F的抛物线x²=4y上有两个动点A、B，且满足，过A、B两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为M．
（1）求：•的值；
（2）证明：为定值．