2012-2013学年广东省广州市执信中学高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3，}，B={2，4}，则A∩（∁_UB）（ ）
A．{1，3}
B．{2，4}
C．{1，2，3，5}
D．{2，5}

2. 难度：中等

若复数a²-1+（a-1）i（i为虚数单位）是纯虚数，则实数a=（ ）
A．±1
B．-1
C．0
D．1

3. 难度：中等

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且9a₁，3a₂，a₃成等比数列．若a₁=3，则S₄=（ ）
A．7
B．8
C．12
D．16

4. 难度：中等

设a是甲抛掷一枚骰子得到的点数，则方程x²+ax+2=0有两个不相等的实数根的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．

5. 难度：中等

已知变量x、y满足条件则x+y的最大值是（ ）
A．2
B．5
C．6
D．8

6. 难度：中等

下列各命题中正确的命题是（ ）
①命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题；
②命题“∃x∈R，”的否定是“∀x∈R，x²+1≤3x”；
③“函数f（x）=cos²ax-sin²ax最小正周期为π”是“a=1”的必要不充分条件； 
④“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“＜0”．
A．②③
B．①②③
C．①②④
D．③④

7. 难度：中等

把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD⊥平面CBD，形成三棱锥C-ABD的正视图与俯视图如图所示，则左视图的面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

点P为双曲线C₁：和圆C₂：x²+y²=a²+b²的一个交点，且2∠PF₁F₂=∠PF₂F₁，其中F₁，F₂为双曲线C₁的两个焦点，则双曲线C₁的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．2

二、填空题

9. 难度：中等

若向量，，满足条件，则x=    ．

10. 难度：中等

在△ABC中，∠A=60°，AC=16，面积为，那么BC的长度为    ．

11. 难度：中等

如图是求1²+2²+3²+…+100²的值的程序框图，则正整数n=    ．
．

12. 难度：中等

已知圆C的圆心与抛物线y²=4x的焦点关于y轴对称，又直线4x-3y-6=0与圆C相切，则圆C的标准方程为    ．

13. 难度：中等

已知函数f（x）=-x³+3f′（2）x，令n=f′（2），则二项式（x+）ⁿ展开式中常数项是第     项．

14. 难度：中等

在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，曲线ρ（cosθ+sinθ）=1与ρ（sinθ-cosθ）=1的交点的极坐标为    ．

15. 难度：中等

（几何证明选讲选做题）
如图，AB是圆O的直径，直线CE与圆O相切于点C，AD⊥CE于点D，若圆O的面积为4π，∠ABC=30°，则AD的长为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数f（x）=2sinxcosx+cos2x（x∈R）．
（1）求f（x）的最小正周期和最大值；
（2）若θ为锐角，且，求tan2θ的值．

17. 难度：中等

今有4种股票和3种基金，李先生欲购买其中的任意3种产品．
（1）求李先生所购买的3种产品中恰好只含一种基金的概率；
（2）记购买的3种产品中，包含基金的种数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．

18. 难度：中等

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=1，E为CD中点．
（1）求证：B₁E⊥AD₁；
（2）在棱AA₁上是否存在一点P，使得DP∥平面B₁AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．
（3）若AB=2，求二面角B-AE-B₁的平面角的余弦值．

19. 难度：中等

已知x=3是函数f（x）=aln（1+x）+x²-10x的一个极值点．
（Ⅰ）求a；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点，求b的取值范围．

20. 难度：中等

直线l与椭圆交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，已知=（ax₁，by₁），=（ax₂，by₂），若⊥且椭圆的离心率，又椭圆经过点，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线l过椭圆的焦点F（0，c）（c为半焦距），求直线l的斜率k的值；
（Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．

21. 难度：中等

已知数列{a_n}中，a₁=2，对于任意的p，q∈N^*，有a_p+q=a_p+a_q
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足：求数列{b_n}的通项公式；
（3）设C_n=3ⁿ+λb_n（n∈N^*），是否存在实数λ，当n∈N^*时，C_n+1＞C_n恒成立，若存在，求实数λ的取值范围，若不存在，请说明理由．