Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AD=1，E为CD中点．
（1）求证：B₁E⊥AD₁；
（2）在棱AA₁上是否存在一点P，使得DP∥平面B₁AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．
（3）若AB=2，求二面角B-AE-B₁的平面角的余弦值．

Answer

（1）连接A1D，B1C，证明AD1⊥平面A1B1CD，即可证得结论；
（2）取AA1的中点P，AB1的中点Q，连接PQ，利用三角形的中位线的性质，可得线线平行，从而可得线面平行；
（3）建立空间直角坐标系，确定平面ABE、AEB1的一个法向量，利用向量的夹角公式，可得结论．
（1）证明：连接A1D，B1C，
∵长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AD=1，
∴A1D⊥AD1，
∵A1B1⊥平面A1ADD1，
∴AD1⊥A1B1，
∵A1D∩A1B1=A1，∴AD1⊥平面A1B1CD，
∵B1E⊂平面A1B1CD，
∴B1E⊥AD1；
（2）【解析】
存在AA1的中点P，使得DP∥平面B1AE，证明如下：
取AA1的中点P，AB1的中点Q，连接PQ，
则PQ∥A1B1，且PQ=A1B1，
∵DE∥A1B1，且DE=A1B1，∴PQ∥DE且PQ=DE
∴四边形PQDE为平行四边形，∴PQ∥DE
又PD⊄平面AB1E，QE⊆平面AB1E
∴PD∥平面AB1E
此时AP=AA1；
（3）【解析】
因为AB⊥AA1，AB⊥AD，AA1⊥AD，建立如图所示坐标系
则A（0，0，0），A1（0，0，1），B（2，0，0），B1（2，0，1），E（1，1，0）
∵AA1⊥平面ABCD，
∴平面ABE的一个法向量=（0，0，1）
设平面AEB1的法向量为，∵
∵由，得
取x=1，y=-1，z=-2，则平面AEB1的一个法向量为
∴
经检验，二面角B-AE-B1所成平面角为锐角，其余弦值为