2012-2013学年江苏省南京市高三（上）期中数学模拟试卷（一）（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知全集U={1，2，3，4，5}，集合P={1，2，3}，Q={2，3，4}，那么C_U（P∪Q）=    ．

2. 难度：中等

已知复数（i为虚数单位），那么|z|=    ．

3. 难度：中等

命题“．”的否定是    ．

4. 难度：中等

双曲线的渐近线方程为    ．

5. 难度：中等

若函数f（x）=x²+ax在x∈[1，3]是单调递减函数，则实数a的取值范围是    ．

6. 难度：中等

数列{a_n}为正项等比数列，若a₂=1，且a_n+a_n+1=6a_n-1（n∈N，n≥2），则此数列的前4项和S₄=    ．

7. 难度：中等

“a∈[2，+∞）”是“实系数一元二次方程x²-ax+1=0有实根”的    条件（从“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中选出符合题意的一个填空）．

8. 难度：中等

已知定义在实数集R上的偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调递增函数，则不等式f（1）＜f（lgx）的解集为    ．

9. 难度：中等

如图，观察右面的图形（每个正方形的边长均为1）和左边相应的等式，根据其中的规律，那么与第n个图形相对应的等式为    ．

10. 难度：中等

若关于x的不等式x²+1≥kx在[1，2]上恒成立，则实数k的取值范围是    ．

11. 难度：中等

扇形OAB半径为2，圆心角∠AOB=60°，点D是弧AB的中点，点C在线段OA上，且．则的值为     ．

12. 难度：中等

连续掷一枚均匀的正方体骰子（6个面分别标有1，2，3，4，5，6）．现定义数列{a_n}：当向上面上的点数是3的倍数时，a_n=1；当向上面上的点数不是3的倍数时，a_n=-1．设S_n是其前项和，那么S₅=3的概率是    ．

13. 难度：中等

如图，在平面直角坐标系xOy中，点F为椭圆的左焦点，M，N在椭圆C上，若四边形OFMN是菱形，则椭圆C的离心率是    ．

14. 难度：中等

若数列{a_n}满足a₁=1，（n∈N^*），设，类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法，可求得=    ．

二、解答题

15. 难度：中等

已知向量=（cosθ，sinθ），=（cos2θ，sin2θ），=（-1，0），=（0，1）．
（1）求证：；     （2）设f（θ）=，求f（θ）的值域．

16. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA=AB=1，G是PD的中点，E是AB的中点
（1）求证：GA⊥面PCD；
（2）求证：GA∥面PCE；
（3）求点G到面PCE的距离．

17. 难度：中等

已知公差大于零的等差数列a_n的前n项和为S_n，且满足：a₃•a₄=117，a₂+a₅=22．
（1）求数列a_n的通项公式a_n；
（2）若数列b_n是等差数列，且，求非零常数c；
（3）若（2）中的b_n的前n项和为T_n，求证：．

18. 难度：中等

已知椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，其右焦点F₂与抛物线的焦点重合，且椭圆短轴的两个端点与F₂构成正三角形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C的中心作一条直线与其相交于P，Q两点，当四边形PF₁QF₂面积最大时，求的值．

19. 难度：中等

某公司生产2010年上海世博会的科技纪念品，已知生产x（x∈N^*）万件纪念品的收入函数为（单位：万元），其成本由固定成本和可变成本两部分构成，其中固定成本为5万元，可变成本与生产的纪念品的件数x成正比，又知该公司生产10万件产品时，花费的可变成本为20万元．（利润=收入-成本）
（1）求利润函数P（x）；
（2）当生产多少万件纪念品时，该公司能够取得最大利润？并求出最大利润．

20. 难度：中等

设a=x²-x+1，b=x²-2x，c=2x-1，若a，b，c分别为△ABC的相应三边长，
（1）求实数x的取值范围；
（2）求△ABC的最大内角；
（3）设△ABC的外接圆半径为R，内切圆半径为r，求的取值范围．