Question

某公司生产2010年上海世博会的科技纪念品，已知生产x（x∈N^*）万件纪念品的收入函数为（单位：万元），其成本由固定成本和可变成本两部分构成，其中固定成本为5万元，可变成本与生产的纪念品的件数x成正比，又知该公司生产10万件产品时，花费的可变成本为20万元．（利润=收入-成本）
（1）求利润函数P（x）；
（2）当生产多少万件纪念品时，该公司能够取得最大利润？并求出最大利润．

Answer

（1）先求出公司的成本函数C（x），然后润函数P（x）=R（x）-C（x）分段进行求解即可；
（2）分段分别求出函数的最大值，由利润函数是二次函数或可转化成二次函数，可以利用二次函数的性质求出函数取最大值时对应的自变量x的值．
【解析】
（1）设该公司生产纪念品的可变成本为S（x）由题意可设 S（x）=kx（k＞0）
又知该公司生产10万件产品时，花费的可变成本为20万元
所以  20=10k得 k=2
由其固定成本为5万元，得
该公司的成本函数C（x）=2x+5…（3分）
因为收入函数为
所以，当0＜x＜9时，利润函数P（x）=R（x）-C（x）==
当9≤x≤15时，利润函数P（x）=R（x）-C（x）=（-x2+16x-39）-（2x+5）=-x2+14x-44
所以该公司生产纪念品的利润函数为…（8分）
（2）当0＜x＜9时，=
因为0＜x＜9，x∈N*
所以，当即x=4时，P（x）的最大值为3万元；…（11分）
当9≤x≤15时，P（x）=-x2+14x-44=-（x-7）2+5在区间[9，15]为减函数，
当x=9时，P（x）=1…（14分）
所以，当9≤x≤15时，P（x）最大值为1万元．
答：当x=4万件时，利润的最大值为3万元．…（16分）