2012-2013学年江西省吉安市白鹭洲中学高三（上）第二次月考数学试卷（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知复数z满足（z-2）i=1+i，那么复数z的虚部为（ ）
A．1
B．-1
C．i
D．-i

2. 难度：中等

已知在等比数列{a_n}中，a₁+a₃=10，a₄+a₆=，则等比数列{a_n}的公比q的值为（ ）
A．
B．
C．2
D．8

3. 难度：中等

若，则△ABC为（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．不能判断

4. 难度：中等

下列命题中是假命题的是（ ）
A．，x＞sin
B．∃x∈R，sinx+cosx=2
C．∀x∈R，3^x＞0
D．∃x∈R，lgx=0

5. 难度：中等

曲线在点M（，0）处的切线的斜率为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

已知点G是△ABC的重心，（ λ，μ∈R），若∠A=120°，，则的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

下列几种说法正确的个数是（ ）
①函数的递增区间是；
②函数f（x）=5sin（2x+φ），若f（a）=5，则f（a+）＜f（a+）；
③函数的图象关于点对称；
④直线是函数图象的一条对称轴；
⑤函数y=cosx的图象可由函数y=sin的图象向右平移个单位得到．
A．1
B．2
C．3
D．4

8. 难度：中等

满足，它的前n项和为S_n，则满足S_n＞1025的最小n值是（ ）
A．9
B．10
C．11
D．12

9. 难度：中等

已知点A（3，），O为坐标原点，点P（x，y）的坐标x，y满足则向量在向量方向上的投影的取值范围是（ ）
A．
B．[-3，3]
C．
D．

10. 难度：中等

探索以下规律：

则根据规律，从2003到2005，箭头的方向依次是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为    ．

12. 难度：中等

已知向量，满足（+2）•（-）=-6，且||=1，||=2，则与的夹角为    ．

13. 难度：中等

A={1，2，3}，B={x∈R|x²-ax+b=0，a∈A，b∈A}，则A∩B=B的概率是    ．

14. 难度：中等

函数的图象与函数y=2sinπx（-2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于    ．

15. 难度：中等

给出下列命题，其中正确的命题是    （写出所有正确命题的编号）．
①在△ABC中，若tanA+tanB+tanC＞0，则△ABC是锐角三角形；
②在△ABC中，A＜B是cosA＞cosB的充要条件；
③已知非零向量，则“”是“的夹角为锐角”的充要条件；
④若数列{a_n}为等比数列，则“a₃a₅=16”是“a₄=4”的充分不必要条件；
⑤函数f（x）的导函数为f'（x），若对于定义域内任意x₁，x₂（x₁≠x₂），有恒成立，则称f（x）为恒均变函数，那么f（x）=x²-2x+3为恒均变函数．

三、解答题

16. 难度：中等

已知，函数，x∈R．
（1）求函数f（x）的最大值和最小正周期；
（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别a，b，c且c=3，f（C）=0，若sin（A+C）=2sinA，求a，b的值．

17. 难度：中等

某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式，其中3＜x＜6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．
（Ⅰ）求a的值
（Ⅱ）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．

18. 难度：中等

已知等差数列{a_n}的各项均为正数，a₁=3，前n项和为S_n，{b_n}是等比数列，b₁=1，且b₂S₂=64，b₃S₃=960．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）求证：都成立．

19. 难度：中等

已知函数f（x）=ax²+bx（a≠0）的导函数f'（x）=-2x+7，数列{a_n}的前n项和为S_n，点P_n（n，S_n）（n∈N^*）均在函数y=f（x）的图象上．
（I）求数列{a_n}的通项公式及S_n的最大值；
（II）令，其中n∈N^*，求{nb_n}的前n项和．

20. 难度：中等

已知二次函数g（x）对∀x∈R都满足g（x-1）+g（1-x）=x²-2x-1且g（1）=-1，设函数（m∈R，x＞0）．
（1）求g（x）的表达式；
（2）若∃x∈R₊，使f（x）≤0成立，求实数g（x）=-x³+2x²+mx+5的取值范围．

21. 难度：中等

已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴的负半轴上，过其上一点P（x，y）（x≠0）的切线方程为y-y=2ax（x-x）（a为常数）．
（I）求抛物线方程；
（II）斜率为k₁的直线PA与抛物线的另一交点为A，斜率为k₂的直线PB与抛物线的另一交点为B（A、B两点不同），且满足k₂+λk₁=0（λ≠0，λ≠-1），，求证线段PM的中点在y轴上；
（III）在（II）的条件下，当λ=1，k₁＜0时，若P的坐标为（1，-1），求∠PAB为钝角时点A的纵坐标的取值范围．