Question

已知二次函数g（x）对∀x∈R都满足g（x-1）+g（1-x）=x²-2x-1且g（1）=-1，设函数（m∈R，x＞0）．
（1）求g（x）的表达式；
（2）若∃x∈R₊，使f（x）≤0成立，求实数g（x）=-x³+2x²+mx+5的取值范围．

Answer

（1）根据二次函数g（x）对∀x∈R都满足g（x-1）+g（1-x）=x2-2x-1，设出g（x），根据等式的性质，可以求出a、c的值；
（2）由（1）求出的函数g（x），代入函数f（x）=，进行化简，再利用导数研究函数的最值，要使f（x）≤0成立，转化为f（x）的最小值小于0即可，从而求出m的范围；
【解析】
（1）设出g（x）=ax2+bx+c，于是
g（x-1）+g（1-x）=2a（x-1）2+2c=（x-1）2-2，
所以
由g（1）=-1，则b=-，
所以g（x）=x2-x-1，
（2）f（x）=g（x+）+mlnx+=x2+mlnx（m∈R，x＞0），
当m＞0时，由对数函数性质，f（x）的值域为R，
当m=0时，f（x）=对∀x＞0，f（x）＞0恒成立，
当m＜0时，由f′（x）=x+=0⇒x=，
列表：

x （0，） （，+∞）
f′（x） - +
f（x） 递减 极小值 递增

这时f（x）min=f（）=-+mln，
f（x）min≤0，⇔，
可得m≤-e，
综上，∃x＞0使f（x）≤0成立，实数m的取值范围（-∞，-e]∪（0，+∞）；