2012-2013学年黑龙江省大庆实验中学高三（上）开学数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知集合A={x|x²-2x＜0}，B={x|x≥1}，则A∩B等于（ ）
A．{x|0＜x＜1}
B．{x|1≤x＜2}
C．{x|0＜x＜2}
D．{x|x＞2}

2. 难度：中等

设a是实数，且，则实数a=（ ）
A．-1
B．1
C．2
D．-2

3. 难度：中等

下列命题中，真命题的是（ ）
A．
B．，tanx＞sin
C．∃x∈R，x²+x=-1
D．∀x∈R，x²+2x＞4x-3

4. 难度：中等

若一个二面角的两个半平面与另一个二面角的两个半平面互相垂直，则这两个二面角的大小（ ）
A．相等
B．互补
C．相等或互补
D．无法确定

5. 难度：中等

在各项均为正数的等比数列{a_n}中，a₁和a₁₉为方程x²-10x+16=0的两根，则a₁₀=（ ）
A．2
B．4
C．±4
D．16

6. 难度：中等

已知正方体外接球的体积是，那么正方体的棱长等于（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

△ABC的外接圆的圆心为O，AB=2，，则等于（ ）
A．
B．
C．
D．

8. 难度：中等

设O为坐标原点，点A（1，1），若点，则取得最小值时，点B的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．无数个

9. 难度：中等

某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）

A．
B．10
C．
D．

10. 难度：中等

在函数的图象上有一点P（t，cost），此函数图象与x轴及直线x=t围成图形（如图阴影部分）的面积为S，则S关于t的函数关系S=g（t）的图象可以是（ ）

A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

△ABC一边的两个顶点为B（-3，0），C（3，0）另两边所在直线的斜率之积为λ （λ为常数），则顶点A的轨迹不可能落在下列哪一种曲线上（ ）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线

12. 难度：中等

设函数f（x）=3sinx+2cosx+1．若实数a、b、c使得af（x）+bf（x-c）=1对任意实数x恒成立，则的值等于（ ）
A．
B．
C．-1
D．1

二、填空题

13. 难度：中等

设向量，，且，则锐角α为    ．

14. 难度：中等

S_n为等差数列{a_n}的前n项和，若，则=    ．

15. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x²+y²-8x+15=0，若直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是    ．

16. 难度：中等

若方程x⁴+ax-4=0的各个实根x₁，x₂，…，x_k（k≤4）所对应的点（i=1，2，…，k）均在直线y=x的同侧，则实数a的取值范围是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，C=2A．
（Ⅰ）求cosC的值；
（Ⅱ）若ac=24，求a，c的值．

18. 难度：中等

从装有2只红球，2只白球和1只黑球的袋中逐一取球，已知每只球被抽取的可能性相同．
（Ⅰ）若抽取后又放回，抽取3次，求恰好抽到2次为红球的概率；
（Ⅱ）若抽取后不放回，设抽完红球所需的次数为s⁴，求s⁴的分布列及期望．

19. 难度：中等

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中AA₁=AD=1，E为CD中点．
（Ⅰ）求证：B₁E⊥AD₁；
（Ⅱ）在棱AA₁上是否存在一点P，使得DP∥平面B₁AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．
（Ⅲ）若二面角A-B₁E-A₁的大小为30°，求AB的长．

20. 难度：中等

如图，斜率为1的直线过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，与抛物线交于两点A、B，将直线AB按向量平移得到直线l，N为l上的动点，M为抛物线弧AB上的动点．
（Ⅰ） 若|AB|=8，求抛物线方程．
（Ⅱ）求S_△ABM的最大值．
（Ⅲ）求的最小值．

21. 难度：中等

定义F（x，y）=（1+x）^y，x、y∈（0，+∞）．
（Ⅰ）求曲线与直线4x+15y-3=0垂直的切线方程；
（Ⅱ）若存在实数b使曲线在（m，n）点处的切线斜率为-8，且m∈[2，4]，求实数a的取值范围．

22. 难度：中等

如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB．
（Ⅰ）求证：AD⊥CD；
（Ⅱ）若，求AB的长．

23. 难度：中等

已知曲线C₁的参数方程为（θ为参数），曲线C₂的极坐标方程为ρ=2cosθ+6sinθ．
（1）将曲线C₁的参数方程化为普通方程，将曲线C₂的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）曲线C₁，C₂是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由．

24. 难度：中等

选修4-5：不等式选讲．
设函数f（x）=2|x-1|+|x+2|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≥4的解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）＜|m-2|的解集是非空的集合，求实数m的取值范围．