Question

定义F（x，y）=（1+x）^y，x、y∈（0，+∞）．
（Ⅰ）求曲线与直线4x+15y-3=0垂直的切线方程；
（Ⅱ）若存在实数b使曲线在（m，n）点处的切线斜率为-8，且m∈[2，4]，求实数a的取值范围．

Answer

（1）函数，依题意令，因为所求曲线C1的切线与直线4x+15y-3=0垂直，故令得．由此能推导出所求切线方程．
（2）函数，令，得x3+ax2+bx＞0，因切点为（m，n），故有m3+am2+bm＞0，由此能求出满足条件的实数a的取值范围．
【解析】
（1）函数，
依题意令①，（2分）
因为所求曲线C1的切线与直线4x+15y-3=0垂直，
故令得②，
由①②知应取，得，切点为，
所求切线方程是，
即15x-4y+27=0．（4分）
（2）函数
令，得x3+ax2+bx＞0
因切点为（m，n），
故有m3+am2+bm＞0，（6分）
又g'（x）=3x2+2ax+b，
依题意有g'（m）=3m2+2am+b=-8，b=-3m2-2am-8
所以m3+am2+bm=m3+am2+（-3m2-2am-8）m
即-2m3-am2-8m＞0，（8分）
该不等式在m∈[2，4]上有解，
即2m3+am2+8m＜0在m∈[2，4]上有解，
转化为在m∈[2，4]上有解，（10分）
令，
则，在m∈[2，4]上恒有h'（m）＜0
所以函数h（m）是[2，4]上的减函数，
其最大值为h（2）=-8，
所以实数a的取值范围是（-∞，-8）．（12分）