Question

如图，斜率为1的直线过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点，与抛物线交于两点A、B，将直线AB按向量平移得到直线l，N为l上的动点，M为抛物线弧AB上的动点．
（Ⅰ） 若|AB|=8，求抛物线方程．
（Ⅱ）求S_△ABM的最大值．
（Ⅲ）求的最小值．

Answer

（Ⅰ）利用韦达定理及抛物线的定义，计算弦长，即可求得抛物线的标准方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知|AB|=4p，故求S△ABM的最大值，即求M到AB距离的最大值；
（Ⅲ）利用向量的数量积公式，结合配方法，即可求的最小值．
【解析】
（Ⅰ）由条件知，则，消去x得：①，则x1+x2=3p，
由抛物线定义|AB|=x1+x2+p=4p，
又因为|AB|=8，即p=2，则抛物线方程为y2=4x．---------------------------（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知|AB|=4p和，设，
则M到AB距离：，因M，O在直线AB的同侧，所以，
则，即，
由①知
所以，则当y=p时，，
则．---------------------------------------（8分）
（Ⅲ）设，A（x1，y1），B（x2，y2），
则，，
即
由①知x1+x2=3p，，，y1+y2=2p，则，
即，当x=p时，的最小值为．
（其它方法酌情给分）---------------------------------------------------（12分）