Question

如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB．
（Ⅰ）求证：AD⊥CD；
（Ⅱ）若，求AB的长．

Answer

（Ⅰ）连接BC；根据切线的性质知：OC⊥CD；推出∠DCA=∠B，利用直径上的圆周角等关系推出，∠ADC=90°即可证明结果．
（Ⅱ）连接BC，证△ADC∽△ACB，根据相似三角形得出的对应边成比例线段，可将AB的长求出．
证明：（Ⅰ）连接BC．∵直线CD与⊙O相切于C点，∴∠DCA=∠B，
∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，
∴∠ADC=∠ACB，
∵AB是圆的直径，∴∠ACB=90°，
∴∠ADC=90°，
∴AD⊥CD．
（Ⅱ）∵∠DCA=∠B，∠DAC=∠CAB，
∴△ADC∽△ACB，
∴，
∴AC2=AD•AB，
∵AD=2，AC=，
∴AB=．