2011-2012学年四川省成都市六校协作体高二（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

等轴双曲线的离心率是（ ）
A．1
B．
C．2
D．

2. 难度：中等

垂直于同一平面的两条直线一定（ ）
A．平行
B．相交
C．异面
D．以上都有可能

3. 难度：中等

下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）
A．①②
B．①③
C．①④
D．②④

4. 难度：中等

如果椭圆上一点M到此椭圆一个焦点F₁的距离为2，N是MF₁的中点，O是坐标原点，则ON的长为（ ）
A．2
B．4
C．8
D．

5. 难度：中等

正方体的全面积为6，它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是（ ）
A．3π
B．4π
C．6π
D．8π

6. 难度：中等

已知两点F₁（-1，0）、F₂（1，0），且|F₁F₂|是|PF₁|与|PF₂|的等差中项，则动点P的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：
①存在平面γ，使得α，β都平行于γ
②存在平面γ，使得α，β都垂直于γ；
③α内有不共线的三点到β的距离相等；
④存在异面直线l，m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β．
其中，可以判定α与β平行的条件有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

8. 难度：中等

如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）
A．x-2y=0
B．x+2y-4=0
C．2x+3y-12=0
D．x+2y-8=0

9. 难度：中等

方程mx+ny²=0与mx²+ny²=1（|m|＞|n|＞0）的曲线在同一坐标系中的示意图应是（ ）
A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F为双曲线的一个焦点，经过两曲线交点的直线恰好过点F，则该双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，线段B₁D上有两个动点E、F，且EF=，则下列结论中错误的是（ ）
A．AC⊥BE
B．A₁C⊥平面AEF
C．三棱锥A-BEF的体积为定值
D．异面直线AE、BF所成的角为定值

12. 难度：中等

设椭圆上一点P与原点O的距离为|OP|=r₁，OP的倾斜角为θ，将射线OP绕原点O逆时针旋转90°后与椭圆相交于点Q，若|OQ|=r₂，则r₁r₂的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．2

二、填空题

13. 难度：中等

如图，三棱锥A-BCD中DA，DB，DC两两垂直且长度都为1，则三棱锥的体积为    ．

14. 难度：中等

椭圆上的点到直线的最大距离是    ．

15. 难度：中等

若不论k为何值，直线y=k（x-2）+b与曲线x²-y²=1总有公共点，则b的取值范围是    ．

16. 难度：中等

连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是    （填写所有正确选项的序号）．
①菱形②有3条边相等的四边形③梯形
④平行四边形⑤有一组对角相等的四边形

三、解答题

17. 难度：中等

已知双曲线与椭圆共焦点，它们的离心率之和为，求：
（1）双曲线的标准方程；           
（2）双曲线的渐近线方程．

18. 难度：中等

如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，E，F分别是AB′，BC′的中点． 
（1）若M为BB′的中点，证明：平面EMF∥平面ABCD．
（2）求异面直线EF与AD′所成的角．

19. 难度：中等

已知抛物线y²=4x，焦点为F，顶点为O，点P在抛物线上移动，Q是OP的中点．
（1）求点Q的轨迹方程；
（2）若倾斜角为60°且过点F的直线交Q的轨迹于A，B两点，求弦长|AB|．

20. 难度：中等

如图，边长为2的正方形ABCD中，E为AB的中点，点F为BC的中点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A₁．
（1）求证：A₁D⊥EF；
（2）M为EF的中点，求DM与面A₁EF所成角的正弦值．

21. 难度：中等

如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．
（1）求证：AC⊥SD；
（2）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小；
（3）在（2）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由．

22. 难度：中等

设椭圆E：（a＞b＞0）过M（2，），N（，1）两点，O为坐标原点，
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|取值范围；若不存在，说明理由．