Question

设椭圆上一点P与原点O的距离为|OP|=r₁，OP的倾斜角为θ，将射线OP绕原点O逆时针旋转90°后与椭圆相交于点Q，若|OQ|=r₂，则r₁r₂的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．2

Answer

设直线OP方程为y=kx，点P（x1，y1），利用方程组联解的方法可得：=，=，所以r12=+=．同理可得到Q（x2，y2）满足：r22=+=，所以有=，化简整理，结合基本不等式，可得r1r2≥，当且仅当r1=r2，即k2=1时，r1r2取到最小值．
【解析】
设直线OP方程为y=kx，点P（x1，y1）
∵点P是椭圆与直线y=kx的交点
∴由可得：==，=k2x2=
∵点P与原点O的距离为|OP|=r1，
∴r12=+==，
∵OQ是由OP绕原点逆时针旋转90°而得，
∴直线OQ方程为y=x，
再设Q（x2，y2），用类似于求r12的方法，可得r22=+=
∴r1、r2满足=，可得+=
根据基本不等式，可得+≥2r1r2
∴≥2r1r2，即r1r2≥，当且仅当r1=r2，即k2=1时，r1r2取到最小值
故选B