Question

如图，边长为2的正方形ABCD中，E为AB的中点，点F为BC的中点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A₁．
（1）求证：A₁D⊥EF；
（2）M为EF的中点，求DM与面A₁EF所成角的正弦值．

Answer

（1）证明A1D⊥EF，只要证明A1D⊥平面A1EF即可；
（2）由（1）知 A1D⊥平面 A1EF，连接A1M，则∠A1MD为DM与面A1EF所成角，在直角△A1MD中，可求sin∠A1MD．
（1）证明：由题知，∵A1D⊥A1E，A1D⊥A1F，A1E∩A1F=A
∴A1D⊥平面A1EF
∵EF⊂平面A1EF
∴A1D⊥EF
（2）【解析】
由（1）知 A1D⊥平面 A1EF，连接A1M，则∠A1MD为DM与面A1EF所成角
∵边长为2的正方形ABCD中，E为AB的中点，点F为BC的中点
∴|BD|=2，|BM|=，|DM|=|BD|-|BM|=
在直角△A1MD中，|A1D|=2，∴sin∠A1MD=
∴DM与面A1EF所成角的正弦值为．