2011-2012学年江苏省泰州市泰兴三中高二（上）期中数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于n²，则算过关，那么，连过前二关的概率是     ．

2. 难度：中等

观察下列等式：
（1+x+x²）¹=1+x+x²，
（1+x+x²）²=1+2x+3x²+2x³+x⁴，
（1+x+x²）³=1+3x+6x²+7x³+6x⁴+3x⁵+x⁶，
（1+x+x²）⁴=1+4x+10x²+16x³+19x⁴+16x⁵+10x⁶+4x⁷+x⁸，…
由以上等式推测：对于n∈N^*，若（1+x+x²）ⁿ=a+a₁x+a₂x²+…+a_2nx²ⁿ则a₂=    ．

3. 难度：中等

已知函数.（x∈[0，π]），那么下面命题中真命题的序号是    ．
①f（x）的最大值为f（x）
②f（x）的最小值为f（x）
③f（x）在[0，x]上是减函数            
④f（x）在[x，π]上是减函数．

4. 难度：中等

设定义在（-1，1）上的奇函数f （x）的导函数f′（x）=5+cosx，且f （0）=0，则不等式f （x-1）+f （1-x²）＜0的
解集为    ．

二、解答题

5. 难度：中等

已知命题p：|1-2x|≤5；命题q：x²-4x+4-9m²≤0（m＞0），若非p是非q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

6. 难度：中等

已知矩阵A=，向量．
（1）求A的特征值λ₁、λ₂和特征向量α₁、α₂；
（2）计算A⁵β的值．

7. 难度：中等

（1）已知z为虚数，为实数，若z-2为纯虚数，求虚数z；
（2）已知w=z+i（z∈C），且为纯虚数，求M=|w+1|²+|w-1|²的最大值及M取最大值时w的值．

8. 难度：中等

某生物兴趣小组对A、B两种植物种子的发芽率进行验证性实验，每实验一次均种下一粒A种子和一粒B种子．已知A、B两种种子在一定条件下每粒发芽的概率分别为．假设两种种子是否发芽互相不受影响，任何两粒种子是否发芽互相也没有影响．
（1）求3粒A种子，至少有一粒未发芽的概率；
（2）求A、B各3粒种子，A至少2粒发芽且B全发芽的概率；
（3）假设对B种子的实验有2次发芽，则终止实验，否则继续进行，但实验的次数最多不超过5次，求对B种子的发芽实验终止时，实验次数ξ的概率分布和数学期望．

9. 难度：中等

请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x（cm）．
（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm²）最大，试问x应取何值？
（2）若广告商要求包装盒容积V（cm³）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．

10. 难度：中等

给定两个函数解决如下问题：
（Ⅰ）若f（x）在x=1处取得极值，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）在区间（2，+∞）为增函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若关于x的方程f（x）-g（x）=0有三个不同的根，求m的取值范围．

三、填空题

11. 难度：中等

复数在复平面上对应的点位于第    象限．

12. 难度：中等

命题“实系数一元二次方程有实数解”的否定是    ．

13. 难度：中等

若（x²+）⁶的二项展开式中x³的系数为，则a=    （用数字作答）．

14. 难度：中等

已知矩阵，若矩阵A属于特征值3的一个特征向量为，属于特征值-1的一个特征向量为，则矩阵A=    ．

15. 难度：中等

若，则n=    ．

16. 难度：中等

复数z=i+i²+i³+i⁴+…+i²⁰⁰⁷+i²⁰⁰⁸+i²⁰⁰⁹的值是    ．

17. 难度：中等

已知复数z=x+yi（x，y∈R）且|z-3-4i|=2，则的取值范围为    ．

18. 难度：中等

函数y=（x+2）ln（x+2）的单调递减区间是    ．

19. 难度：中等

若点P是曲线y=x²-lnx上任意一点，则点P到直线y=x-2的最小距离为     ．

20. 难度：中等

设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入5个盒子内只有一个盒子空着，共有    种投放方法．